Resolva as EDOs abaixo:
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo do lado direito. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo .

Passo 3

A equação característica fica: . Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito não é uma função que se ajusta facilmente aos métodos de coeficientes a determinar, vamos usar o método de variação dos parâmetros.

Passo 7

No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções que vamos determinar.

Passo 8

Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e . O Wronskiano é dado por:

Passo 9

As fórmulas para e são:

Passo 10

Agora, integramos e para achar e :
Essas integrais podem não ter soluções em funções elementares e podem ser expressas em termos de funções especiais ou ser deixadas na forma integral.

Passo 11

Portanto, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Dada a EDO de segunda ordem Encontre:
a) Um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada .
Si , halle:
Dada a EDO de segunda ordem Encontre:
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados
Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo