Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo do lado direito. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo .
Passo 3
A equação característica fica: . Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 5
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a equação completa . Como o lado direito não é uma função que se ajusta facilmente aos métodos de coeficientes a determinar, vamos usar o método de variação dos parâmetros.
Passo 7
No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções que vamos determinar.
Passo 8
Para encontrar e , precisamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas e . O Wronskiano é dado por:
Passo 9
As fórmulas para e são:
Passo 10
Agora, integramos e para achar e :
Essas integrais podem não ter soluções em funções elementares e podem ser expressas em termos de funções especiais ou ser deixadas na forma integral.
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: