Dada a EDO de segunda ordem
Encontre:
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Essa equação está no campo das equações diferenciais lineares e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar a solução geral. Para isso, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução dessa equação é da forma:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se existirem.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Para isso, usamos o Método dos Coeficientes Indeterminados, que consiste em supor uma forma para
baseada no lado direito da equação.
Passo 4
Observando o lado direito
, vemos que ele é composto por um polinômio de primeiro grau
e um termo
. Portanto, vamos supor que a solução particular seja da forma:
Aqui,
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
e suas derivadas na equação original e igualamos os coeficientes para resolver os valores de
.
Passo 6
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores dos coeficientes:
Portanto, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da EDO é: