Dada a EDO de segunda ordem y'' + y = t + tsen(t) Encontre:
b) A solução geral da EDO usando o Método dos Coeficientes Indeterminados

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Essa equação está no campo das equações diferenciais lineares e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar a solução geral. Para isso, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . A solução dessa equação é da forma:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se existirem.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o Método dos Coeficientes Indeterminados, que consiste em supor uma forma para baseada no lado direito da equação.

Passo 4

Observando o lado direito , vemos que ele é composto por um polinômio de primeiro grau e um termo . Portanto, vamos supor que a solução particular seja da forma:
Aqui, são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos e suas derivadas na equação original e igualamos os coeficientes para resolver os valores de .

Passo 6

Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores dos coeficientes:
Portanto, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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