Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo . Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica que a equação está na forma linear padrão: . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por . Nesse caso, fica:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada do produto .

Passo 5

Observamos que a esquerda agora é a derivada de :
Assim, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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