Seja g(x) = { cos(x) se x > 0, a se x = 0, x + 1 se x < 0 }. A função g é contínua em R - {0} ? Existe algum a in R tal que g seja continua em x = 0 ? Em caso afirmativo, determine-o. Quais são os valores de a tais que g é descontínua em x = 0 ? Quais são os valores de a tais que a é uma descontinuidade removível? (Justifique usando os limites laterais). Esboce o gráfico de g.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para analisarmos a função definida por partes e verificar sua continuidade em diferentes pontos. A matéria que vamos usar aqui é Continuidade de Funções, especialmente a definição de continuidade em um ponto e a análise de limites laterais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de e fora desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em todos os pontos de exceto em . Para , a função é , que é bem conhecida por ser contínua em todo o seu domínio. Para , temos , que também é uma função polinomial e, portanto, contínua em todo lugar. Assim, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos ver se existe algum valor de que faça ser contínua em . Para que seja contínua em , o limite quando se aproxima de 0 pela direita deve ser igual ao limite quando se aproxima de 0 pela esquerda e ambos devem ser iguais ao valor de , que é .

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):

Passo 5

Calculando o limite pela esquerda ( ):

Passo 6

Para que a função seja contínua em :
Portanto, existe um valor de que torna contínua em , que é .

Passo 7

Agora, quais são os valores de que fazem ser descontínua em ? Qualquer valor de que seja diferente de 1 irá tornar descontínua em . Ou seja, se , a função apresenta descontinuidade em .

Passo 8

Por último, vamos identificar os valores de que resultam em uma descontinuidade removível. Uma descontinuidade é removível quando os limites laterais existem e são iguais, mas diferentes do valor da função no ponto. No nosso caso, os limites laterais são ambos 1. Assim, quando , temos uma descontinuidade removível, porque os limites existem e são iguais, mas não coincidem com .

Resposta

A função é contínua em . Existe um valor, , que torna contínua em . Para qualquer , a função é descontínua em . Além disso, esses valores de correspondem a descontinuidades removíveis. O esboço do gráfico de mostra a função para , a reta para e um ponto em .

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