Utilizando os limites fundamentais apresentados, calcule os itens abaixo. (2,0 pontos)
lim x 0 7 x sin (2 x) sin (x)sin (3 x^3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
lim x 0 7 x sin (2 x) sin (x)sin (3 x^3)
Este é um problema de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar os limites fundamentais das funções trigonométricas, que nos ajudam a entender o comportamento dessas funções conforme se aproxima de um valor específico, neste caso, 0.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que o denominador contém sin(3x^3) approx 3x^3 . Sabemos que, para pequenos valores de , é aproximadamente igual a quando é próximo de 0. Portanto, podemos aproximar:
Isso simplifica o denominador para .

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação no limite:
lim x 0 7 x sin (2 x) sin (x)3x^3
Podemos simplificar a expressão dividindo lim x 0 7 sin (2 x) sin (x)3x^2 por , o que nos dá :

Passo 4

Agora, vamos usar uma propriedade fundamental dos limites das funções seno:
limx to 0 sin(kx)kx = 1
Isso significa que sin(2x) approx 2x e sin(x) approx x é aproximadamente igual a quando está próximo de 0. Aplicando isso aos termos e :

Passo 5

Substituímos essas aproximações na expressão do limite:
lim x 0 7 cdot 2x cdot x3x^2
Simplificando os termos:
lim x 0 14x^23x^2

Passo 6

Agora, cancelamos lim x 0 143 no numerador e no denominador:
Como não há mais na expressão, o limite é simplesmente:

Resposta

143

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