Utilizando os limites fundamentais apresentados, calcule os itens abaixo. (2,0 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
Este é um problema de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar os limites fundamentais das funções trigonométricas, que nos ajudam a entender o comportamento dessas funções conforme
se aproxima de um valor específico, neste caso, 0.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que o denominador contém
. Sabemos que, para pequenos valores de
,
é aproximadamente igual a
quando
é próximo de 0. Portanto, podemos aproximar:
Isso simplifica o denominador para
.
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação no limite:
Podemos simplificar a expressão dividindo
por
, o que nos dá
:
Passo 4
Agora, vamos usar uma propriedade fundamental dos limites das funções seno:
Isso significa que
é aproximadamente igual a
quando
está próximo de 0. Aplicando isso aos termos
e
:
Passo 5
Substituímos essas aproximações na expressão do limite:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, cancelamos
no numerador e no denominador:
Como não há mais
na expressão, o limite é simplesmente: