Dada a elipse de equação x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0, determine os seguintes itens:
d) comprimentos dos eixos maior e menor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma elipse: . A missão é descobrir os comprimentos dos eixos maior e menor dessa elipse. Para isso, vamos precisar colocar essa equação na forma padrão da elipse, que facilita identificar esses comprimentos. Vamos precisar então completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y = -33 e de juntos e movendo a constante para o outro lado. Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 e de 4y^2 - 24y = 4(y^2 - 6y) .
Para y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 :
4(y^2 - 6y) = 4((y - 3)^2 - 9) = 4(y - 3)^2 - 36
Para :
Primeiro, fatoramos o 4 dos termos de :
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Então,

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 = -33
Agora, somamos os termos constantes:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 37 = -33
Isolando os termos quadráticos:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 4

Passo 5

Vamos colocar a equação na forma padrão da elipse dividindo tudo por 4:
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1
Na forma padrão a^2 = 4 Rightarrow a = 2 , identificamos que:
b^2 = 1 Rightarrow b = 1
Como , o eixo maior está na direção do e o eixo menor na direção do .

Resposta

O comprimento do eixo maior é unidades e o comprimento do eixo menor é unidades.

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