Dada a elipse de equação
, determine os seguintes itens:
d) comprimentos dos eixos maior e menor.
d) comprimentos dos eixos maior e menor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma elipse:
. A missão é descobrir os comprimentos dos eixos maior e menor dessa elipse. Para isso, vamos precisar colocar essa equação na forma padrão da elipse, que facilita identificar esses comprimentos. Vamos precisar então completar o quadrado nos termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
juntos e movendo a constante para o outro lado. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
Para
:
Primeiro, fatoramos o 4 dos termos de :
Primeiro, fatoramos o 4 dos termos de
Agora, completamos o quadrado dentro do parênteses:
Então,
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Isolando os termos quadráticos:
Passo 5
Vamos colocar a equação na forma padrão da elipse dividindo tudo por 4:
Na forma padrão
, identificamos que:
Como
, o eixo maior está na direção do
e o eixo menor na direção do
.
Resposta
O comprimento do eixo maior é
unidades e o comprimento do eixo menor é
unidades.