Dada a elipse de equação
, determine os seguintes itens:
b) a excentricidade e o comprimento do Latus Rectum;
b) a excentricidade e o comprimento do Latus Rectum;
Passo 1
Vamos resolver o item b) do exercício que pede para determinar a excentricidade e o comprimento do Latus Rectum de uma elipse dada pela equação
. Para isso, precisamos primeiro transformar essa equação na forma padrão da elipse e, em seguida, aplicar as fórmulas que nos dão a excentricidade e o Latus Rectum.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da elipse agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo os resultados de volta na equação original:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 5
Dividimos ambos os lados da equação por 4 para obter a forma padrão da elipse:
Passo 6
Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
-
então -
então
Como
, a elipse é alongada no eixo
.
Passo 7
A excentricidade
da elipse é dada pela fórmula:
Passo 8
O Latus Rectum é o comprimento do segmento que passa por um dos focos e é paralelo ao eixo menor. A fórmula para calcular o Latus Rectum
é:
Resposta
A excentricidade da elipse é
e o comprimento do Latus Rectum é
unidade.