Dada a elipse de equação x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0, determine os seguintes itens:
b) a excentricidade e o comprimento do Latus Rectum;

Passo 1

Vamos resolver o item b) do exercício que pede para determinar a excentricidade e o comprimento do Latus Rectum de uma elipse dada pela equação . Para isso, precisamos primeiro transformar essa equação na forma padrão da elipse e, em seguida, aplicar as fórmulas que nos dão a excentricidade e o Latus Rectum.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da elipse agrupando os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y + 33 = 0 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 e 4y^2 - 24y = 4(y^2 - 6y) = 4[(y - 3)^2 - 9] = 4(y - 3)^2 - 36 separadamente.
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo os resultados de volta na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 + 33 = 0
Simplificando:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 4 = 0
Ou seja:
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 4

Passo 5

Dividimos ambos os lados da equação por 4 para obter a forma padrão da elipse:
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1

Passo 6

Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
  • então
  • então
Como , a elipse é alongada no eixo .

Passo 7

A excentricidade e = raiz1 - b^2a^2 = raiz1 - 14 = raiz34 = raiz32 da elipse é dada pela fórmula:

Passo 8

O Latus Rectum é o comprimento do segmento que passa por um dos focos e é paralelo ao eixo menor. A fórmula para calcular o Latus Rectum L = 2b^2a = 2 times 12 = 1 é:

Resposta

A excentricidade da elipse é e o comprimento do Latus Rectum é unidade.

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