Prove que os vetores u=(-1,2,4), v=(3,2,2) e w=(1,0,1) são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar saber o que significa vetores serem linearmente independentes e usar o conceito de determinante de uma matriz. Se o determinante dessa matriz formada pelos vetores for diferente de zero, então eles são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores A = -1 & 3 & 1 2 & 2 & 0 4 & 2 & 1 , e . Assim temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
a = -1, b = 3, c = 1 d = 2, e = 2, f = 0 g = 4, h = 2, i = 1
Para a nossa matriz:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = (-1) cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 2) - 3 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 4) + 1 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 4)
Simplificando cada parte:
det(A) = (-1)(2 - 0) - 3(2 - 0) + 1(4 - 8) det(A) = (-1)(2) - 3(2) + 1(-4) det(A) = -2 - 6 - 4 det(A) = -12

Resposta

Como o determinante é diferente de zero, os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados