Prove que os vetores e são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar saber o que significa vetores serem linearmente independentes e usar o conceito de determinante de uma matriz. Se o determinante dessa matriz formada pelos vetores for diferente de zero, então eles são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores , e . Assim temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
a = -1, b = 3, c = 1 d = 2, e = 2, f = 0 g = 4, h = 2, i = 1
Para a nossa matriz:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do determinante: