Or pontite (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se k for igual a

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três pontos no plano cartesiano: , e . A pergunta é: para que valor de esses três pontos fiquem alinhados, ou seja, que formem uma linha reta. Para isso, vamos usar o conceito de colinearidade, que basicamente verifica se a inclinação entre dois pares de pontos é a mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é inclinação (coeficiente angular). A inclinação entre dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e é calculada pela fórmula:
Esse valor nos diz quão inclinada está a reta que passa por esses dois pontos.

Passo 3

Como queremos que os três pontos estejam alinhados, a inclinação entre mAB = 7 - 32 - 1 = 41 = 4 e deve ser igual à inclinação entre e . Vamos calcular essas inclinações.
Primeiro, entre e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação entre mAC = k - 34 - 1 = k - 33 e :

Passo 5

Para que os pontos estejam alinhados, as inclinações mAB = mAC e 4 = k - 33 devem ser iguais:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 4 = k - 33 :
4 times 3 = k - 3
Multiplicando ambos os lados por 3:
12 = k - 3
12 + 3 = k
Somando 3 em ambos os lados:
k = 15

Resposta

O valor de que faz os três pontos estarem alinhados é 15.

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