Dada a elipse
(figura à esquerda). 10,5 ponto) Defina o domínio e a imagem de ambas as funções simétricas
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma elipse dada por
, onde
. O conteúdo aqui envolve entender funções e determinar o domínio (os valores que a variável independente pode assumir) e a imagem (os valores que a função pode retornar) para as funções simétricas
e
. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da elipse para expressar
em função de
e vice-versa, e então identificar o intervalo de valores possíveis para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função
. Começamos isolando
na equação da elipse:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Então, temos duas funções simétricas:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função
. O domínio são os valores de
para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Então, o domínio de
é todo
tal que
.
A imagem de
são os valores possíveis de
. Como
, o valor máximo ocorre quando
, dando
. E o mínimo é
quando
. Portanto, a imagem de
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Vamos isolar
na equação da elipse:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Então, temos duas funções simétricas:
Passo 5
Vamos determinar o domínio e a imagem da função
. O domínio são os valores de
para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Então, o domínio de
é todo
tal que
.
A imagem de
são os valores possíveis de
. Como
, o valor máximo ocorre quando
, dando
. E o mínimo é
quando
. Portanto, a imagem de
é
.
Resposta
Para a função
:
- Domínio:
- Imagem:
Para a função
:
- Domínio:
- Imagem: