Dada a elipse (figura à esquerda). 10,5 ponto) Defina o domínio e a imagem de ambas as funções simétricas e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma elipse dada por , onde . O conteúdo aqui envolve entender funções e determinar o domínio (os valores que a variável independente pode assumir) e a imagem (os valores que a função pode retornar) para as funções simétricas e . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da elipse para expressar em função de e vice-versa, e então identificar o intervalo de valores possíveis para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função . Começamos isolando na equação da elipse:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
Então, temos duas funções simétricas:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função . O domínio são os valores de para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Então, o domínio de é todo tal que .
A imagem de são os valores possíveis de . Como , o valor máximo ocorre quando , dando . E o mínimo é quando . Portanto, a imagem de é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função . Vamos isolar na equação da elipse:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Então, temos duas funções simétricas:
Passo 5
Vamos determinar o domínio e a imagem da função . O domínio são os valores de para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Então, o domínio de é todo tal que .
A imagem de são os valores possíveis de . Como , o valor máximo ocorre quando , dando . E o mínimo é quando . Portanto, a imagem de é .