Dada a elipse ε: x²/a² + y²/b² = 1 ; a > b (figura à esquerda). 10,5 ponto) Defina o domínio e a imagem de ambas as funções simétricas y = f(x) e x = f(y).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma elipse dada por x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, onde . O conteúdo aqui envolve entender funções e determinar o domínio (os valores que a variável independente pode assumir) e a imagem (os valores que a função pode retornar) para as funções simétricas e . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da elipse para expressar y em função de x e vice-versa, e então identificar o intervalo de valores possíveis para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função . Começamos isolando y na equação da elipse:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para y:
Então, temos duas funções simétricas:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função . O domínio são os valores de x para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Então, o domínio de f(x) é todo x tal que -a <= x <= a.
A imagem de f(x) são os valores possíveis de y. Como , o valor máximo ocorre quando x = 0, dando . E o mínimo é quando . Portanto, a imagem de f(x) é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função . Vamos isolar x na equação da elipse:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
Então, temos duas funções simétricas:

Passo 5

Vamos determinar o domínio e a imagem da função . O domínio são os valores de y para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Então, o domínio de f(y) é todo y tal que .
A imagem de f(y) são os valores possíveis de x. Como , o valor máximo ocorre quando , dando . E o mínimo é x = 0 quando . Portanto, a imagem de f(y) é 0 <= x <= a.

Resposta

Para a função :
  • Domínio: -a <= x <= a
  • Imagem:
Para a função :
  • Domínio:
  • Imagem: 0 <= x <= a

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