(1,5 pontos) Calcule integral x^5+x-1x^3-1 d x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente a integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fazer divisão de polinômios e possivelmente usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador ( , grau 5) é maior que o grau do denominador ( , grau 3). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão de polinômios para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir x^5 + x -1x^3-1 = x^2 + x^2 + x -1x^3 -1 por :
Isso aconteceu porque dividido por , e o resto da divisão é .

Passo 4

Agora, a integral fica dividida em duas partes:
integral x^5 +x -1x^3-1 dx = integral x^2 dx + integral x^2 + x -1x^3 -1 dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

A primeira integral é simples de resolver:
integral x^2 dx = x^33 + C
Agora, vamos focar na segunda integral:

Passo 6

Vamos fatorar o denominador x^3 -1 = (x -1)(x^2 +x +1) . Sabemos que:
x^2 +x -1(x -1)(x^2 +x +1)
Então, a fração fica:

Passo 7

Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. Assumimos que:
x^2 +x -1(x -1)(x^2 +x +1) = Ax -1 + Bx + Cx^2 +x +1
Multiplicando ambos os lados por x^2 +x -1 = A(x^2 +x +1) + (Bx + C)(x -1) , temos:

Passo 8

Expandindo e agrupando os termos:
x^2 +x -1 = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)
Igualando os coeficientes:
A + B = 1 A - B + C = 1 A - C = -1
Resolvendo o sistema:
A = 13, B = 23, C = 43

Passo 9

Substituindo os valores de x^2 +x -1(x -1)(x^2 +x +1) = 1/3x -1 + (2/3)x + 4/3x^2 +x +1 , 13 cdot 1x -1 + 2x +43(x^2 +x +1) e , temos:
Podemos simplificar para:

Passo 10

Agora, nossa integral fica:
integral x^5 +x -1x^3-1 dx = x^33 + 13 integral 1x -1 dx + 13 integral 2x +4x^2 +x +1 dx
Vamos resolver as integrais restantes.

Passo 11

Integrando 13 integral 1x -1 dx = 13 ln|x -1| + C :
E para , vamos completar o quadrado no denominador.

Passo 12

Completemos o quadrado no denominador x^2 +x +1 = (x + 12)^2 + 34 :
2x +43(x^2 +x +1) = 2x +1 +33(x^2 +x +1) = 2x +13(x^2 +x +1) + 1x^2 +x +1
Então, a integral fica:

Passo 13

Agora, integramos cada termo separadamente:
2x +13(x^2 +x +1) = 13 ln|x^2 +x +1| + C
E para integral 1(x + 12)^2 + (raiz32)^2 dx = 2raiz3 arctan(2x +1raiz3) + C , após completar o quadrado, usamos a fórmula da integral do arco-tangente:

Passo 14

Somando todas as partes, a integral completa fica:
integral x^5 +x -1x^3-1 dx = x^33 + 13 ln|x -1| + 13 ln|x^2 +x +1| + 2raiz3 arctan(2x +1raiz3) + C

Resposta

boxed x^33 + 13 ln|x -1| + 13 ln|x^2 +x +1| + 2raiz3 arctan( 2x +1raiz3 ) + C

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