Dada a elipse
(figura à esquerda).
ponto) Encontre as equações das semi-elipses simétricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma elipse definida pela equação
, onde
. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente estudo das elipses e suas simetrias. Precisamos encontrar as equações das semi-elipses que são simétricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os eixos focal e não-focal da elipse. Na elipse dada, o eixo focal é o eixo maior, que está alinhado ao eixo
, já que
. Já o eixo não-focal é o eixo menor, alinhado ao eixo
.
Passo 3
Para encontrar as semi-elipses simétricas, vamos dividir a elipse original em duas partes ao longo do eixo focal e não-focal. Ou seja, vamos separar a elipse em duas semi-elipses que são reflexos uma da outra em cada um desses eixos.
Passo 4
Primeiro, vamos dividir a elipse ao longo do eixo focal (eixo
). Para isso, mantemos o eixo
igual a zero e resolvemos para
. A equação da semi-elipse superior fica
com
e a inferior com
.
Passo 5
Agora, vamos dividir a elipse ao longo do eixo não-focal (eixo
). Mantemos o eixo
igual a zero e resolvemos para
. A equação da semi-elipse direita fica
com
e a esquerda com
.
Passo 6
Assim, temos quatro semi-elipses: duas simétricas em relação ao eixo focal (superior e inferior) e duas simétricas em relação ao eixo não-focal (direita e esquerda). Cada uma dessas semi-elipses representa metade da elipse original, refletida em um dos eixos.
Resposta
As equações das semi-elipses são:
-
Simétricas ao eixo focal (eixo
): -
Simétricas ao eixo não-focal (eixo
):
Exercícios relacionados
Dada a elipse
(figura à esquerda). 10,5 ponto) Defina o domínio e a imagem de ambas as funções simétricas
e
.
Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.