Dada a elipse ε: x²/a² + y²/b² = 1 ; a > b (figura à esquerda). 0,5 ponto) Encontre as equações das semi-elipses simétricas em relação aos eixos focal e não-focal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma elipse definida pela equação , onde . O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente estudo das elipses e suas simetrias. Precisamos encontrar as equações das semi-elipses que são simétricas em relação aos eixos focal e não-focal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os eixos focal e não-focal da elipse. Na elipse dada, o eixo focal é o eixo maior, que está alinhado ao eixo , já que . Já o eixo não-focal é o eixo menor, alinhado ao eixo .

Passo 3

Para encontrar as semi-elipses simétricas, vamos dividir a elipse original em duas partes ao longo do eixo focal e não-focal. Ou seja, vamos separar a elipse em duas semi-elipses que são reflexos uma da outra em cada um desses eixos.

Passo 4

Primeiro, vamos dividir a elipse ao longo do eixo focal (eixo ). Para isso, mantemos o eixo igual a zero e resolvemos para . A equação da semi-elipse superior fica com e a inferior com .

Passo 5

Agora, vamos dividir a elipse ao longo do eixo não-focal (eixo ). Mantemos o eixo igual a zero e resolvemos para . A equação da semi-elipse direita fica com e a esquerda com .

Passo 6

Assim, temos quatro semi-elipses: duas simétricas em relação ao eixo focal (superior e inferior) e duas simétricas em relação ao eixo não-focal (direita e esquerda). Cada uma dessas semi-elipses representa metade da elipse original, refletida em um dos eixos.

Resposta

As equações das semi-elipses são:
  • Simétricas ao eixo focal (eixo ):
  • Simétricas ao eixo não-focal (eixo ):

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