Sabendo-se que a e b são números reais que tornam a função f: R R, definida por
f(x)=llc 2 x-a+b, & se & x<-2 a x^2-b x-6, & se & -2 <= x <= 2 x^2-4x-2, & se & x>2
contínua em todo R, determine o valor de S, onde S=a-3 b.

Passo 1

Então, temos uma função definida por partes, e queremos garantir que ela seja contínua em todo o conjunto dos números reais. Isso envolve encontrar os valores de e que fazem com que as diferentes partes da função se conectem sem “saltos”. No final, precisamos calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade em f(x) = 2x - a + b . A continuidade nesse ponto significa que o limite da função quando limx to -2^- f(x) = 2(-2) - a + b = -4 - a + b se aproxima de f(-2) = a(-2)^2 - b(-2) - 6 = 4a + 2b - 6 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em -4 - a + b = 4a + 2b - 6 .
Para :
O limite quando se aproxima de pela esquerda é:
Para :
Igualando os dois:

Passo 3

Agora, vamos garantir a continuidade em f(2) = a(2)^2 - b(2) - 6 = 4a - 2b - 6 . Isso significa que o limite da função quando f(x) = x^2 - 4x - 2 se aproxima de f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 (para x neq 2) pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de limx to 2^+ f(x) = 2 + 2 = 4 pela direita.
Para 4a - 2b - 6 = 4 :
Para :
Podemos simplificar essa expressão:
Então, o limite quando se aproxima de pela direita é:
Igualando os dois:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. -4 - a + b = 4a + 2b - 6 -4 + 6 = 4a + a + 2b - b 2 = 5a + b (Equação 1)
  2. 4a - 2b - 6 = 4 4a - 2b = 10 2a - b = 5 (Equação 2)
Vamos resolver a primeira equação:
5a + b = 2 2a - b = 5 çã
Agora, a segunda equação:
5a + b + 2a - b = 2 + 5 7a = 7 a = 1 çã
Agora, temos:
2(1) - b = 5 2 - b = 5 b = -3
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 2:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular S = 1 - 3(-3) = 1 + 9 = 10 :

Resposta

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Sabendo-se que
f(x)=5+4 cos (5 x)+pi^x^2 sen(x^2+4x^2)
determine lim x 0 f(x).
Usando as propriedades de limites e/ou alguns artifícios algébricos, se necessário, calcule os seguintes limites: lim x 2 2 x-4raiz[5]x-1-1
Dada a elipse ε: x²/a² + y²/b² = 1 ; a > b (figura à esquerda). 10,5 ponto) Defina o domínio e a imagem de ambas as funções simétricas y = f(x) e x = f(y).
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