Sabendo-se que e são números reais que tornam a função , definida por
contínua em todo R, determine o valor de S, onde S=a-3 b.
Passo 1
Então, temos uma função definida por partes, e queremos garantir que ela seja contínua em todo o conjunto dos números reais. Isso envolve encontrar os valores de e que fazem com que as diferentes partes da função se conectem sem “saltos”. No final, precisamos calcular .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade em f(x) = 2x - a + b . A continuidade nesse ponto significa que o limite da função quando limx to -2^- f(x) = 2(-2) - a + b = -4 - a + b se aproxima de f(-2) = a(-2)^2 - b(-2) - 6 = 4a + 2b - 6 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em -4 - a + b = 4a + 2b - 6 .
Para :
O limite quando se aproxima de pela esquerda é:
Para :
Igualando os dois:
Passo 3
Agora, vamos garantir a continuidade em f(2) = a(2)^2 - b(2) - 6 = 4a - 2b - 6 . Isso significa que o limite da função quando f(x) = x^2 - 4x - 2 se aproxima de f(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 (para x neq 2) pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de limx to 2^+ f(x) = 2 + 2 = 4 pela direita.
Para 4a - 2b - 6 = 4 :
Para :
Podemos simplificar essa expressão:
Então, o limite quando se aproxima de pela direita é:
Igualando os dois:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-4 - a + b = 4a + 2b - 6 -4 + 6 = 4a + a + 2b - b 2 = 5a + b (Equação 1)