Sabendo-se que
f(x)=5+4 cos (5 x)+pi^x^2 sen(x^2+4x^2)
determine lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve trigonometria e potências. A função que vamos analisar é:
Nosso objetivo é encontrar o limite de f(x) = 5 + 4 cos(5x) + pi^x^2 sen(x^2+4x^2) quando se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar propriedades de limites, funções contínuas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, olhemos para o termo constante, que é o 5. Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Ou seja:
limx to 0 5 = 5

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo termo: limx to 0 cos(5x) = cos(0) = 1 . A função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos substituir diretamente limx to 0 4 cos(5x) = 4 times 1 = 4 por 0 na expressão dentro do cosseno. Assim:
Multiplicando pelo 4:

Passo 4

O terceiro termo é um pouco mais complicado: . Vamos quebrar isso em partes.
Primeiro, olhemos para o expoente:
À medida que x^2 sen(x^2+4x^2) se aproxima de 0, o termo limx to 0 x^2 sen(x^2+4x^2) = 0 fica muito grande, mas o seno de um valor grande oscila entre -1 e 1. Portanto, está limitado a valores entre -1 e 1. Multiplicando isso por pi^0 = 1 , que está se aproximando de 0, todo o expoente se aproxima de 0:
Agora, temos:
limx to 0 pi^x^2 sen(x^2+4x^2) = 1
Portanto:

Resposta

Somando todos os limites encontrados:
5 + 4 + 1 = 10
Então, o limite de quando se aproxima de 0 é 10.

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