Sabendo-se que
determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve trigonometria e potências. A função que vamos analisar é:
Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar propriedades de limites, funções contínuas e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, olhemos para o termo constante, que é o 5. Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo termo:
. A função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos substituir diretamente
por 0 na expressão dentro do cosseno. Assim:
Multiplicando pelo 4:
Passo 4
O terceiro termo é um pouco mais complicado: . Vamos quebrar isso em partes.
Primeiro, olhemos para o expoente:
À medida que
se aproxima de 0, o termo
fica muito grande, mas o seno de um valor grande oscila entre -1 e 1. Portanto, está limitado a valores entre -1 e 1. Multiplicando isso por
, que está se aproximando de 0, todo o expoente se aproxima de 0:
Agora, temos:
Portanto:
Resposta
Somando todos os limites encontrados:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 é 10.