Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a definição de integral pelo Teorema 4, que envolve somas de Riemann. Para resolver isso, precisaremos entender como aproximar a área sob a curva usando pequenos retângulos e depois calcular o limite dessa soma quando esses retângulos ficam infinitamente estreitos.
Passo 2
Primeiro, dividimos o intervalo de integração [0, 2] em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá largura
.
Passo 3
Escolhemos pontos de amostragem dentro de cada subintervalo para avaliar a função
. Vamos usar os pontos finais à direita, então o ponto de amostragem no
-ésimo subintervalo é
.
Passo 4
A soma de Riemann para essa configuração é dada por:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da soma:
Passo 6
Separando a soma em duas partes:
Passo 7
Utilizamos as fórmulas das somas:
Passo 8
Substituindo as somas:
Passo 9
Simplificando ainda mais:
Passo 10
Agora, tomamos o limite quando
tende ao infinito para encontrar a integral:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Dada a elipse
(figura à esquerda).
ponto) Encontre as equações das semi-elipses simétricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.
Seja
(a) Determine o domínio de .
(a) Determine o domínio de