Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^2(2 x-x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^2(2x - x^3) dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando a definição de integral pelo Teorema 4, que envolve somas de Riemann. Para resolver isso, precisaremos entender como aproximar a área sob a curva usando pequenos retângulos e depois calcular o limite dessa soma quando esses retângulos ficam infinitamente estreitos.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo de integração [0, 2] em n subintervalos iguais. Cada subintervalo terá largura De.

Passo 3

Escolhemos pontos de amostragem dentro de cada subintervalo para avaliar a função f(x) = 2x - x^3. Vamos usar os pontos finais à direita, então o ponto de amostragem no k-ésimo subintervalo é xk = 0 + kDe.

Passo 4

A soma de Riemann para essa configuração é dada por:
Sn = sumk=1^n f(xk) De

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da soma:
Sn = sumk=1^n (4kn - 8k^3n^3) cdot 2n = sumk=1^n (8kn^2 - 16k^3n^4)

Passo 6

Separando a soma em duas partes:
Sn = 8n^2 sumk=1^n k - 16n^4 sumk=1^n k^3

Passo 7

Utilizamos as fórmulas das somas:
sumk=1^n k = n(n+1)2
sumk=1^n k^3 = (n(n+1)2)^2

Passo 8

Substituindo as somas:
Sn = 8n^2 cdot n(n+1)2 - 16n^4 cdot (n(n+1)2)^2
Sn = 4(n+1)n - 16(n+1)^24n^2 = 4(n+1)n - 4(n+1)^2n^2

Passo 9

Simplificando ainda mais:
Sn = 4(1 + 1n) - 4(1 + 2n + 1n^2)
Sn = 4 + 4n - 4 - 8n - 4n^2
Sn = -4n - 4n^2

Passo 10

Agora, tomamos o limite quando n tende ao infinito para encontrar a integral:
limn to infty Sn = limn to infty (-4n - 4n^2) = 0

Resposta

A integral integral0^2(2x - x^3) dx é igual a 0.

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