Dada a elipse x^24+y^29=1, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse juntos! A gente tem a equação da elipse . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa elipse e encontrar algumas características importantes dela: o comprimento dos semieixos maior e menor, as coordenadas dos focos e dos vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão da equação da elipse e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão da equação de uma elipse: , onde é o centro da elipse. Como nossa equação é , podemos ver que o centro está na origem , e .

Passo 3

Vamos identificar qual eixo é maior. Aqui, b = raiz9 = 3 e . Como é maior, o semieixo maior está no eixo y. Para encontrar o comprimento do semieixo maior, tiramos a raiz quadrada de :

Passo 4

Agora, o comprimento do semieixo menor está no eixo x. Calculamos a = raiz4 = 2 tirando a raiz quadrada de :

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas dos vértices. Como o semieixo maior está no eixo y, os vértices ficam a uma distância (0, 3) e (0, -3) acima e abaixo do centro. Então, as coordenadas dos vértices são:

Passo 6

Para achar as coordenadas dos focos, usamos a fórmula c = raiz9 - 4 = raiz5 approx 2,24 . Vamos calcular (0, raiz5) e (0, -raiz5) :
Então, os focos estão localizados a uma distância acima e abaixo do centro no eixo y. As coordenadas dos focos são:

Resposta

  • Comprimento do semieixo maior:
  • Comprimento do semieixo menor:
  • Coordenadas dos focos: e
  • Coordenadas dos vértices: e

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