Dada a elipse , esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse juntos! A gente tem a equação da elipse . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa elipse e encontrar algumas características importantes dela: o comprimento dos semieixos maior e menor, as coordenadas dos focos e dos vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão da equação da elipse e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão da equação de uma elipse: , onde é o centro da elipse. Como nossa equação é , podemos ver que o centro está na origem , e .

Passo 3

Vamos identificar qual eixo é maior. Aqui, e . Como é maior, o semieixo maior está no eixo y. Para encontrar o comprimento do semieixo maior, tiramos a raiz quadrada de :

Passo 4

Agora, o comprimento do semieixo menor está no eixo x. Calculamos tirando a raiz quadrada de :

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas dos vértices. Como o semieixo maior está no eixo y, os vértices ficam a uma distância acima e abaixo do centro. Então, as coordenadas dos vértices são:

Passo 6

Para achar as coordenadas dos focos, usamos a fórmula . Vamos calcular :
Então, os focos estão localizados a uma distância acima e abaixo do centro no eixo y. As coordenadas dos focos são:

Resposta

  • Comprimento do semieixo maior:
  • Comprimento do semieixo menor:
  • Coordenadas dos focos: e
  • Coordenadas dos vértices: e

Exercícios relacionados

Sobre o plano e da reta : , está correto afirmar que
(A) é paralela a , mas não está contida em .
(B) está contida em .
© não é paralela e nem perpendicular a , e um vetor diretor de faz um ângulo de 45 graus com um vetor normal a .
(D) é perpendicular a .
(E) nãoo é paralela e nem perpendicular a , e um vetor diretor de faz um ângulo de 60 graus com um vetor normal a .
Mostre que se é uma matriz escalar de ordem , então para qualquer escalar .
Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3 e eixo maior medindo 10 unidades.