Dada a elipse
, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse juntos! A gente tem a equação da elipse
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa elipse e encontrar algumas características importantes dela: o comprimento dos semieixos maior e menor, as coordenadas dos focos e dos vértices. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a forma padrão da equação da elipse e como identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão da equação de uma elipse:
, onde
é o centro da elipse. Como nossa equação é
, podemos ver que o centro está na origem
,
e
.
Passo 3
Vamos identificar qual eixo é maior. Aqui,
e
. Como
é maior, o semieixo maior está no eixo y. Para encontrar o comprimento do semieixo maior, tiramos a raiz quadrada de
:
Passo 4
Agora, o comprimento do semieixo menor está no eixo x. Calculamos
tirando a raiz quadrada de
:
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas dos vértices. Como o semieixo maior está no eixo y, os vértices ficam a uma distância
acima e abaixo do centro. Então, as coordenadas dos vértices são:
Passo 6
Para achar as coordenadas dos focos, usamos a fórmula
. Vamos calcular
:
Então, os focos estão localizados a uma distância
acima e abaixo do centro no eixo y. As coordenadas dos focos são:
Resposta
- Comprimento do semieixo maior:
- Comprimento do semieixo menor:
- Coordenadas dos focos:
e - Coordenadas dos vértices:
e
Exercícios relacionados
Sobre o plano
e da reta
:
, está correto afirmar que
(A) é paralela a
, mas não está contida em
.
(B) está contida em
.
© não é paralela e nem perpendicular a
, e um vetor diretor de
faz um ângulo de 45 graus com um vetor normal a
.
(D) é perpendicular a
.
(E) nãoo é paralela e nem perpendicular a
, e um vetor diretor de
faz um ângulo de 60 graus com um vetor normal a
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Mostre que se
é uma matriz escalar de ordem
, então
para qualquer escalar
.
Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em ( 0,3
e eixo maior medindo 10 unidades.