Dada a matriz
A=[lll 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 2 & 2 & 1 ]
Mostre que A^2-4 A-5 I=03, em que 03 in M3(R) é a matriz nula.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma matriz A = 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 2 & 2 & 1 de ordem 3:
A^2 - 4A - 5I = 03
Queremos mostrar que:
Aqui, é a matriz multiplicada por ela mesma, é a matriz identidade de ordem 3, e é a matriz nula de ordem 3. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e conhecer a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 2 & 2 & 1 times 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 2 & 2 & 1 , ou seja, multiplicar a matriz A^2 = 9 & 8 & 8 8 & 9 & 8 8 & 8 & 9 por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve somar o produto dos elementos das linhas e colunas correspondentes. Vamos fazer isso passo a passo.
Vamos calcular cada elemento de :
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular 4A = 4 times 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 2 & 2 & 1 = 4 & 8 & 8 8 & 4 & 8 8 & 8 & 4 . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz por 4:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular 5I = 5 times 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 5 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 5 , onde é a matriz identidade de ordem 3. A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições. Multiplicando por 5:

Passo 5

Agora que temos A^2 - 4A - 5I = 9 & 8 & 8 8 & 9 & 8 8 & 8 & 9 - 4 & 8 & 8 8 & 4 & 8 8 & 8 & 4 - 5 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 5 , 9-4 & 8-8 & 8-8 8-8 & 9-4 & 8-8 8-8 & 8-8 & 9-4 = 5 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 5 e 5-5 & 0-0 & 0-0 0-0 & 5-5 & 0-0 0-0 & 0-0 & 5-5 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 03 , vamos montar a expressão :

$$
A^{2} - 4A - 5I =

$$
Vamos fazer a subtração passo a passo.
Primeiro, subtrair :

$$

$$
Depois, subtrair :

$$


= 0_{3}
$$

Resposta

Portanto, mostramos que:
A^2 - 4A - 5I = 03

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