Dada a elipse
.
ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse
a partir de uma das funções simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma elipse definida pela equação
. Nosso objetivo aqui é escrever uma integral definida que calcule a área dessa elipse. Para isso, vamos usar a simetria da elipse para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a elipse é simétrica tanto em relação ao eixo
quanto ao eixo
. Isso significa que podemos calcular a área em um dos quatro quadrantes e depois multiplicar por 4 para obter a área total.
Passo 3
Vamos focar no primeiro quadrante, onde
e
são positivos. Para encontrar a função que descreve
em termos de
, isolamos
na equação da elipse:
Passo 4
Agora que temos
em função de
, podemos configurar a integral para calcular a área no primeiro quadrante. A ideia é integrar essa função de
até
, que é o limite no eixo
:
Passo 5
Mas a gente quer a área total da elipse. Então, como calculamos a área de um quadrante, precisamos multiplicar o resultado da integral por 4:
Resposta
A integral definida para calcular a área da elipse
é:
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Dada a elipse
.
ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas
e
.
Dada a elipse
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ponto) Encontre as equaçöe fdgs semi-elipses simpetricas em relação aos eixos focal e não-focal.
Dada a elipse
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ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse
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(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é