Dada a elipse E: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. 0,5 ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse E a partir de uma das funções simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma elipse definida pela equação . Nosso objetivo aqui é escrever uma integral definida que calcule a área dessa elipse. Para isso, vamos usar a simetria da elipse para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a elipse é simétrica tanto em relação ao eixo quanto ao eixo . Isso significa que podemos calcular a área em um dos quatro quadrantes e depois multiplicar por 4 para obter a área total.

Passo 3

Vamos focar no primeiro quadrante, onde e são positivos. Para encontrar a função que descreve em termos de , isolamos na equação da elipse:

Passo 4

Agora que temos em função de , podemos configurar a integral para calcular a área no primeiro quadrante. A ideia é integrar essa função de até , que é o limite no eixo :
Áº

Passo 5

Mas a gente quer a área total da elipse. Então, como calculamos a área de um quadrante, precisamos multiplicar o resultado da integral por 4:
Á

Resposta

A integral definida para calcular a área da elipse é:
Á

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