Dada a elipse E: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. 1,0 ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse ε.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse dada pela equação E: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, mais especificamente sobre cálculo da área de uma elipse usando substituição trigonométrica e simetrias. A gente vai precisar usar integração e entender como as funções trigonométricas podem ajudar nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma figura, a gente pode usar uma integral dupla sobre a região que a figura ocupa. Mas, como a elipse é simétrica em relação aos eixos, podemos simplificar calculando a área de um quarto dela e depois multiplicar por 4. Então, vamos focar na primeira quadrante, onde x e y são positivos.

Passo 3

A equação da elipse na primeira quadrante é x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Para facilitar a integração, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar e . Isso funciona porque, para qualquer valor de theta, a equação da elipse será satisfeita:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a área em termos de theta. A fórmula para a área em coordenadas paramétricas é:
Substituindo y e pelas expressões em termos de theta:
Então, a área do quarto da elipse fica:

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando os limites:
Portanto:

Passo 6

Como a elipse tem quatro quadrantes iguais, a área total é quatro vezes a área de um quarto:

Resposta

A área da elipse ε é .

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