Dada a elipse
.
ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse dada pela equação
. O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, mais especificamente sobre cálculo da área de uma elipse usando substituição trigonométrica e simetrias. A gente vai precisar usar integração e entender como as funções trigonométricas podem ajudar nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma figura, a gente pode usar uma integral dupla sobre a região que a figura ocupa. Mas, como a elipse é simétrica em relação aos eixos, podemos simplificar calculando a área de um quarto dela e depois multiplicar por 4. Então, vamos focar na primeira quadrante, onde
e
são positivos.
Passo 3
A equação da elipse na primeira quadrante é
. Para facilitar a integração, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
e
. Isso funciona porque, para qualquer valor de
, a equação da elipse será satisfeita:
Passo 4
Agora, precisamos expressar a área em termos de
. A fórmula para a área em coordenadas paramétricas é:
Substituindo
e
pelas expressões em termos de
:
Então, a área do quarto da elipse fica:
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando os limites:
Portanto:
Passo 6
Como a elipse tem quatro quadrantes iguais, a área total é quatro vezes a área de um quarto:
Resposta
A área da elipse
é
.
Exercícios relacionados
Dada a elipse
.
ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse
a partir de uma das funções simétricas.
Dada a elipse
.
ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas
e
.
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Se
, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que
e
.