Dada a elipse . ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse dada pela equação . O conteúdo aqui é de Geometria Analítica, mais especificamente sobre cálculo da área de uma elipse usando substituição trigonométrica e simetrias. A gente vai precisar usar integração e entender como as funções trigonométricas podem ajudar nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma figura, a gente pode usar uma integral dupla sobre a região que a figura ocupa. Mas, como a elipse é simétrica em relação aos eixos, podemos simplificar calculando a área de um quarto dela e depois multiplicar por 4. Então, vamos focar na primeira quadrante, onde e são positivos.

Passo 3

A equação da elipse na primeira quadrante é . Para facilitar a integração, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar e . Isso funciona porque, para qualquer valor de , a equação da elipse será satisfeita:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a área em termos de . A fórmula para a área em coordenadas paramétricas é:
Substituindo e pelas expressões em termos de :
Então, a área do quarto da elipse fica:

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando os limites:
Portanto:

Passo 6

Como a elipse tem quatro quadrantes iguais, a área total é quatro vezes a área de um quarto:

Resposta

A área da elipse é .

Exercícios relacionados

Dada a elipse . ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse a partir de uma das funções simétricas.
Dada a elipse . ponto) Defina o domínio e a imagem dee amy as unçöes simétricas e .
pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios e (veja a figura).
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de e . Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração.)
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Se , esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que e .