pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios
e
(veja a figura).
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é
e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de
e
. Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração.)
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área de uma região em forma de lua crescente, que é delimitada pelos arcos de dois círculos, um com raio
e outro com raio
. O conteúdo aqui é de Geometria, especificamente envolvendo círculos e áreas entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das circunferências, encontrar os pontos onde elas se interceptam e depois calcular a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um esboço no plano cartesiano. Vamos colocar a circunferência maior, com raio
, centrada na origem
. Agora, precisamos definir onde está o centro da circunferência menor, com raio
. A distância entre os centros das circunferências é
, então o centro da circunferência menor fica em
.
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações dessas circunferências. A circunferência maior, centrada na origem, tem a equação:
E a circunferência menor, centrada em
, tem a equação:
Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos de interseção entre os círculos.
Passo 4
Para encontrar os pontos onde as duas circunferências se interceptam, vamos igualar as duas equações:
Simplificando:
Substituindo
na equação da circunferência maior:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, podemos definir o intervalo de integração para calcular a área da região em forma de lua crescente. Vamos integrar em relação a
desde
até
, que é o ponto de interseção.
Passo 6
Para calcular a área da região, vamos usar a fórmula da integral definida para a área entre duas curvas:
Aqui,
será a função da circunferência maior e
da circunferência menor. Substituindo:
Resolvendo essa integral, teremos a área da região em forma de lua crescente.
Resposta
A área da região em forma de lua crescente é dada pela integral:
Essa expressão representa a área buscada entre os dois arcos das circunferências.
Exercícios relacionados
Dada a elipse
.
ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse
.
Dada a elipse
.
ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse
a partir de uma das funções simétricas.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Se
, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que
e
.