pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios e (veja a figura).
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de e . Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a área de uma região em forma de lua crescente, que é delimitada pelos arcos de dois círculos, um com raio e outro com raio . O conteúdo aqui é de Geometria, especificamente envolvendo círculos e áreas entre eles. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das circunferências, encontrar os pontos onde elas se interceptam e depois calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um esboço no plano cartesiano. Vamos colocar a circunferência maior, com raio , centrada na origem . Agora, precisamos definir onde está o centro da circunferência menor, com raio . A distância entre os centros das circunferências é , então o centro da circunferência menor fica em .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações dessas circunferências. A circunferência maior, centrada na origem, tem a equação:
E a circunferência menor, centrada em , tem a equação:
Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos de interseção entre os círculos.

Passo 4

Para encontrar os pontos onde as duas circunferências se interceptam, vamos igualar as duas equações:
Simplificando:
Substituindo na equação da circunferência maior:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, podemos definir o intervalo de integração para calcular a área da região em forma de lua crescente. Vamos integrar em relação a desde até , que é o ponto de interseção.

Passo 6

Para calcular a área da região, vamos usar a fórmula da integral definida para a área entre duas curvas:
Aqui, será a função da circunferência maior e da circunferência menor. Substituindo:
Resolvendo essa integral, teremos a área da região em forma de lua crescente.

Resposta

A área da região em forma de lua crescente é dada pela integral:
Essa expressão representa a área buscada entre os dois arcos das circunferências.

Exercícios relacionados

Dada a elipse . ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse .
Dada a elipse . ponto) Escreva uma integral definiga para galculat a área da elipse a partir de uma das funções simétricas.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Se , esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que e .
pontos) Calcule .