O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Se
, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, ao fazer a substituição
com
, conseguimos expressar
e
em termos de
. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas e construir um triângulo retângulo que nos ajude nessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que estamos relacionando o ângulo
com o tangente. Em um triângulo retângulo, o tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Passo 3
Vamos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo agudo é
. Nesse triângulo:
- O cateto oposto a
será . - O cateto adjacente será 1 (pode ser qualquer valor, mas 1 facilita os cálculos).
- A hipotenusa, usando o teorema de Pitágoras, será
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
e
usando os lados do triângulo:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é
Dada a elipse
.
ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse
.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Mostre que
e
.