O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Se , esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, ao fazer a substituição com , conseguimos expressar e em termos de . Para isso, vamos usar identidades trigonométricas e construir um triângulo retângulo que nos ajude nessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que estamos relacionando o ângulo com o tangente. Em um triângulo retângulo, o tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Passo 3

Vamos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo agudo é . Nesse triângulo:
  • O cateto oposto a será .
  • O cateto adjacente será 1 (pode ser qualquer valor, mas 1 facilita os cálculos).
  • A hipotenusa, usando o teorema de Pitágoras, será .

Passo 4

Agora, vamos expressar e usando os lados do triângulo:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios e (veja a figura).
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de e . Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração.)
Dada a elipse . ponto) Use uma substituigao trjonométricale as simetrias para calcular a área da elipse .
pontos) Calcule .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que e .