O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = tg(x/2) converte qualquer função racional de sen x e cos(x) em uma função racional ordinária de t. 0,5 ponto) Se t = tg(x/2), -pi < x < pi, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que cos(x / 2) = 1 / raiz(1 + t^2) e sen(x / 2) = t / raiz(1 + t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, ao fazer a substituição com , conseguimos expressar e em termos de . Para isso, vamos usar identidades trigonométricas e construir um triângulo retângulo que nos ajude nessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que estamos relacionando o ângulo com o tangente. Em um triângulo retângulo, o tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Passo 3

Vamos desenhar um triângulo retângulo onde o ângulo agudo é . Nesse triângulo:
  • O cateto oposto a será .
  • O cateto adjacente será 1 (pode ser qualquer valor, mas 1 facilita os cálculos).
  • A hipotenusa, usando o teorema de Pitágoras, será .

Passo 4

Agora, vamos expressar e usando os lados do triângulo:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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