Dada a equação x y-3 x+4 y-13=0, identifique a cônica e determine as coordenadas dos vértices e focos, as equações dos eixos focal e normal, a excentricidade e o comprimento do latus rectum.
Hipérbole; F1(-4-raiz2, 3-raiz2) ; F2(-4+raiz2, 3+raiz2) ; V1(-3,4), V2(-5,2) eixo focal: y=x+7 ; eixo normal: y=-x-1, e=2 / raiz2, med(L R)=2 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Depois, queremos achar as coordenadas dos vértices e focos, as equações dos eixos focal e normal, a excentricidade e o comprimento do latus rectum. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre cônicas, especialmente sobre hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar a cônica. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, temos . Aqui, o termo indica que pode ser uma hipérbole ou uma elipse, dependendo dos coeficientes.

Passo 3

Para identificar a cônica, calculamos o discriminante De. Se , é uma hipérbole; se , é uma parábola; e se , é uma elipse. No nosso caso:
  • (não tem )
  • (coeficiente de )
  • (não tem )
Então,
Como , temos uma hipérbole.

Passo 4

Agora, vamos colocar a equação na forma canônica da hipérbole. Primeiro, isolamos os termos:
xy - 3x + 4y = 13
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos rotacionar o sistema de eixos para eliminar o termo tan(2theta) = 10 Rightarrow 2theta = 90^circ Rightarrow theta = 45^circ . A inclinação do eixo pode ser encontrada usando X = x + yraiz2 . Como Y = -x + yraiz2 , temos:
( x + yraiz2 ) ( -x + yraiz2 ) - 3 ( x + yraiz2 ) + 4 ( -x + yraiz2 ) = 13
Então, vamos rotacionar os eixos em . As novas coordenadas são dadas por:
Substituindo na equação original:
Simplificando essa expressão e resolvendo, obtém-se a equação da hipérbole na nova base, o que nos permitirá identificar os parâmetros importantes.

Passo 5

Após simplificar, encontramos os parâmetros da hipérbole:
  • Focos: e
  • Vértices: e
  • Eixo Focal: A reta que passa pelos focos, cuja equação é
  • Eixo Normal: A reta perpendicular ao eixo focal, cuja equação é
  • Excentricidade: Calculada como
  • Comprimento do Latus Rectum:

Resposta

A equação representa uma hipérbole. As coordenadas dos focos são e . Os vértices estão em e . As equações dos eixos são (eixo focal) e (eixo normal). A excentricidade da hipérbole é e o comprimento do latus rectum é .

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