Dada a equação
, identifique a cônica e determine as coordenadas dos vértices e focos, as equações dos eixos focal e normal, a excentricidade e o comprimento do latus rectum.
Hipérbole;
eixo focal:
eixo normal:
Hipérbole;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa descobrir que tipo de cônica ela representa. Depois, queremos achar as coordenadas dos vértices e focos, as equações dos eixos focal e normal, a excentricidade e o comprimento do latus rectum. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre cônicas, especialmente sobre hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para identificar a cônica. A equação geral de uma cônica é
. No nosso caso, temos
. Aqui, o termo
indica que pode ser uma hipérbole ou uma elipse, dependendo dos coeficientes.
Passo 3
Para identificar a cônica, calculamos o discriminante
. Se
, é uma hipérbole; se
, é uma parábola; e se
, é uma elipse. No nosso caso:
-
(não tem ) -
(coeficiente de ) -
(não tem )
Então,
Como
, temos uma hipérbole.
Passo 4
Agora, vamos colocar a equação na forma canônica da hipérbole. Primeiro, isolamos os termos:
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos rotacionar o sistema de eixos para eliminar o termo
. A inclinação do eixo pode ser encontrada usando
. Como
, temos:
Então, vamos rotacionar os eixos em
. As novas coordenadas
são dadas por:
Substituindo na equação original:
Simplificando essa expressão e resolvendo, obtém-se a equação da hipérbole na nova base, o que nos permitirá identificar os parâmetros importantes.
Passo 5
Após simplificar, encontramos os parâmetros da hipérbole:
- Focos:
e - Vértices:
e - Eixo Focal: A reta que passa pelos focos, cuja equação é
- Eixo Normal: A reta perpendicular ao eixo focal, cuja equação é
- Excentricidade: Calculada como
- Comprimento do Latus Rectum:
Resposta
A equação
representa uma hipérbole. As coordenadas dos focos são
e
. Os vértices estão em
e
. As equações dos eixos são
(eixo focal) e
(eixo normal). A excentricidade da hipérbole é
e o comprimento do latus rectum é
.