Escreva uma equação da hipérbole conjugada da hipérbole de equação
. Determine, para cada curva, as coordenadas dos focos e as equações das assíntotas.
Hipérbole conjugada:
equação:
focos:
e
assíntotas:
e
Hipérbole conjugada:
equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma hipérbole com a equação
e precisamos:
- Escrever a equação da hipérbole conjugada dessa hipérbole.
- Determinar as coordenadas dos focos para cada hipérbole.
- Encontrar as equações das assíntotas para cada hipérbole.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como equações padrão, focos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a hipérbole conjugada é aquela que troca os papéis de
e
na equação da hipérbole original. Ou seja, se a hipérbole original é
, a conjugada será
.
No nosso caso, a hipérbole original é
. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos escrever a equação da hipérbole conjugada trocando
por
e
por
:
Mas, observando o enunciado, a hipérbole conjugada foi dada como
. Isso acontece porque, na definição, a hipérbole conjugada troca
e
também. Então, para ficar claro:
Passo 4
Agora, vamos determinar as coordenadas dos focos para cada hipérbole. A fórmula para encontrar os focos de uma hipérbole é:
onde
é a distância dos focos ao centro da hipérbole.
Para a hipérbole original
:
Como a hipérbole original está aberta na horizontal, os focos estarão nas posições
:
Para a hipérbole conjugada
:
Como a hipérbole conjugada está aberta na vertical, os focos estarão nas posições
:
Passo 5
Por último, vamos encontrar as equações das assíntotas para cada hipérbole. As assíntotas de uma hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A fórmula geral para as assíntotas de uma hipérbole é:
- Para
:
- Para
:
Para a hipérbole original
:
Para a hipérbole conjugada
:
Resposta
- Hipérbole Conjugada:
- Equação:
- Focos:
e - Assíntotas:
e
- Equação: