Escreva uma equação da hipérbole conjugada da hipérbole de equação x^29-y^216=1. Determine, para cada curva, as coordenadas dos focos e as equações das assíntotas.
Hipérbole conjugada:
equação: y^216-x^29=1 ; focos: F1(0,5) e F2(0,-5) ; assíntotas: y=43 x e y=-43 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma hipérbole com a equação e precisamos:
  1. Escrever a equação da hipérbole conjugada dessa hipérbole.
  2. Determinar as coordenadas dos focos para cada hipérbole.
  3. Encontrar as equações das assíntotas para cada hipérbole.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como equações padrão, focos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a hipérbole conjugada é aquela que troca os papéis de e na equação da hipérbole original. Ou seja, se a hipérbole original é , a conjugada será .
No nosso caso, a hipérbole original é . Aqui, e .

Passo 3

Vamos escrever a equação da hipérbole conjugada trocando y^29 - x^216 = 1 por Hipérbo<= Conjugada: y^216 - x^29 = 1 e por :
Mas, observando o enunciado, a hipérbole conjugada foi dada como . Isso acontece porque, na definição, a hipérbole conjugada troca e também. Então, para ficar claro:
é

Passo 4

Agora, vamos determinar as coordenadas dos focos para cada hipérbole. A fórmula para encontrar os focos de uma hipérbole é:
c = raiza^2 + b^2
onde a^2 = 9 Rightarrow a = 3 é a distância dos focos ao centro da hipérbole.
Para a hipérbole original b^2 = 16 Rightarrow b = 4 :
c = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
F1(5, 0) e F2(-5, 0)
a^2 = 16 Rightarrow a = 4
Como a hipérbole original está aberta na horizontal, os focos estarão nas posições b^2 = 9 Rightarrow b = 3 :
c = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Para a hipérbole conjugada F1(0, 5) e F2(0, -5) :
Como a hipérbole conjugada está aberta na vertical, os focos estarão nas posições :

Passo 5

Por último, vamos encontrar as equações das assíntotas para cada hipérbole. As assíntotas de uma hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. A fórmula geral para as assíntotas de uma hipérbole é:
  • Para y = pm bax :
y = pm abx
  • Para a = 3, b = 4 :
Assíntotas: y = pm 43x
Para a hipérbole original a = 4, b = 3 :
Assíntotas: y = pm 43x
í
Para a hipérbole conjugada :
í

Resposta

  • Hipérbole Conjugada:
    • Equação:
    • Focos: e
    • Assíntotas: e

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