Sejam S, T: V V transformações lineares.
a) Mostre que se S circ T é injetora então T também é injetora.
b) Mostre que se S circ T é sobrejetora então S também é sobrejetora.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: temos duas transformações lineares, e , que mapeiam um espaço vetorial para ele mesmo. A parte (a) do exercício nos pede para mostrar que se a composição é injetora (ou seja, não tem dois vetores diferentes que resultam na mesma imagem), então também precisa ser injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como isso se relaciona com a composição de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação é injetora se, sempre que , isso implica que . Em outras palavras, nenhum par de vetores diferentes em são mapeados para o mesmo vetor em .

Passo 3

Agora, sabemos que a composição é injetora. Ou seja, se , então .

Passo 4

Queremos mostrar que é injetora. Suponha que . Aplicando em ambos os lados, temos . Como é injetora, isso implica que .

Passo 5

Portanto, mostramos que se , então , o que significa que é injetora.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: precisamos mostrar que se a composição é sobrejetora (ou seja, cobre todo o espaço ), então também deve ser sobrejetora. Para isso, vamos entender o que significa uma transformação ser sobrejetora e como isso se relaciona com a composição das transformações e .

Passo 7

Primeiro, recordemos que uma transformação é sobrejetora se, para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Ou seja, a imagem de é todo o espaço .

Passo 8

Sabemos que é sobrejetora. Isto significa que, para qualquer vetor em , existe algum vetor em tal que .

Passo 9

Queremos mostrar que é sobrejetora. Consideremos qualquer vetor em . Como é sobrejetora, existe um em tal que .

Passo 10

Neste caso, é um vetor em tal que, quando aplicado a , resulta em . Isso significa que para todo em , existe um vetor em (especificamente ) que mapeia para .

Passo 11

Portanto, deve mapear seu domínio para todo , ou seja, é sobrejetora.

Resposta

Se a composição é sobrejetora, então também é sobrejetora.

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