Sejam
transformações lineares.
a) Mostre que se
é injetora então
também é injetora.
b) Mostre que se
é sobrejetora então
também é sobrejetora.
a) Mostre que se
b) Mostre que se
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: temos duas transformações lineares,
e
, que mapeiam um espaço vetorial
para ele mesmo. A parte (a) do exercício nos pede para mostrar que se a composição
é injetora (ou seja, não tem dois vetores diferentes que resultam na mesma imagem), então
também precisa ser injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como isso se relaciona com a composição de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação
é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Em outras palavras, nenhum par de vetores diferentes em
são mapeados para o mesmo vetor em
.
Passo 3
Agora, sabemos que a composição
é injetora. Ou seja, se
, então
.
Passo 4
Queremos mostrar que
é injetora. Suponha que
. Aplicando
em ambos os lados, temos
. Como
é injetora, isso implica que
.
Passo 5
Portanto, mostramos que se
, então
, o que significa que
é injetora.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: precisamos mostrar que se a composição
é sobrejetora (ou seja, cobre todo o espaço
), então
também deve ser sobrejetora. Para isso, vamos entender o que significa uma transformação ser sobrejetora e como isso se relaciona com a composição das transformações
e
.
Passo 7
Primeiro, recordemos que uma transformação
é sobrejetora se, para todo vetor
em
, existe pelo menos um vetor
em
tal que
. Ou seja, a imagem de
é todo o espaço
.
Passo 8
Sabemos que
é sobrejetora. Isto significa que, para qualquer vetor
em
, existe algum vetor
em
tal que
.
Passo 9
Queremos mostrar que
é sobrejetora. Consideremos qualquer vetor
em
. Como
é sobrejetora, existe um
em
tal que
.
Passo 10
Neste caso,
é um vetor em
tal que, quando aplicado a
, resulta em
. Isso significa que para todo
em
, existe um vetor em
(especificamente
) que
mapeia para
.
Passo 11
Portanto,
deve mapear seu domínio para todo
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
Se a composição
é sobrejetora, então
também é sobrejetora.