Dada equação autônoma
, Ache os pontos de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial autônoma: . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação. Para isso, precisamos entender o que são pontos de equilíbrio e como identificá-los em uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, o que são pontos de equilíbrio? Em uma equação diferencial, pontos de equilíbrio são valores de
onde a derivada
é igual a zero. Isso significa que, nesses pontos, a função
não está mudando; ela permanece constante.
Passo 3
Então, para encontrar os pontos de equilíbrio, devemos resolver a equação
. Aplicando isso à nossa equação:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem . Sabemos que o seno de um ângulo é zero em múltiplos inteiros de
. Portanto:
Resposta
Os pontos de equilíbrio são
, onde
é qualquer número inteiro.
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, Determine os pontos instáveis e estáveis.