Dada equação autônoma , Determine os pontos instáveis e estáveis.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial autônoma dada por:
O objetivo é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação e determinar quais são estáveis e instáveis. Para isso, precisamos entender o que são pontos de equilíbrio e como analisá-los.

Passo 2

Pontos de equilíbrio são valores de onde a derivada é igual a zero. Ou seja, são soluções constantes da equação diferencial. Vamos encontrar esses pontos resolvendo:
Sabemos que o seno de um ângulo é zero quando o ângulo é múltiplo de . Portanto,
éú
Então, os pontos de equilíbrio são todos os múltiplos de .

Passo 3

Agora, vamos determinar se cada ponto de equilíbrio é estável ou instável. Para isso, analisamos o comportamento da derivada próxima a esses pontos.
Calculamos a derivada da função :
A estabilidade depende do sinal de nos pontos de equilíbrio:
  • Se , o ponto é estável (solução se aproxima do ponto).
  • Se , o ponto é instável (solução se afasta do ponto).

Passo 4

Vamos avaliar nos pontos de equilíbrio :
  • Se for par, então : o ponto é instável.
  • Se for ímpar, então : o ponto é estável.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são todos os múltiplos de , ou seja, para todo número inteiro .
  • Instáveis: Quando é par.
  • Estáveis: Quando é ímpar.

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