Dada equação autônoma
, Determine os pontos instáveis e estáveis.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial autônoma dada por:
O objetivo é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação e determinar quais são estáveis e instáveis. Para isso, precisamos entender o que são pontos de equilíbrio e como analisá-los.
Passo 2
Pontos de equilíbrio são valores de
onde a derivada
é igual a zero. Ou seja, são soluções constantes da equação diferencial. Vamos encontrar esses pontos resolvendo:
Sabemos que o seno de um ângulo é zero quando o ângulo é múltiplo de
. Portanto,
Então, os pontos de equilíbrio são todos os múltiplos de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar se cada ponto de equilíbrio é estável ou instável. Para isso, analisamos o comportamento da derivada próxima a esses pontos.
Calculamos a derivada da função
:
A estabilidade depende do sinal de
nos pontos de equilíbrio:
- Se
, o ponto é estável (solução se aproxima do ponto). - Se
, o ponto é instável (solução se afasta do ponto).
Passo 4
Vamos avaliar
nos pontos de equilíbrio
:
- Se
for par, então : o ponto é instável. - Se
for ímpar, então : o ponto é estável.
Resposta
Os pontos de equilíbrio são todos os múltiplos de
, ou seja,
para todo número inteiro
.
- Instáveis: Quando
é par. - Estáveis: Quando
é ímpar.
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