Resolva as equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por
. A matéria aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, equações diferenciais separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, identifique que a equação é separável. Ou seja, conseguimos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve
, que é o mesmo que
. A integral do lado direito é mais direta:
Passo 4
Vamos calcular cada integral:
- Para o lado esquerdo, sabemos que:
- Para o lado direito:
Passo 5
Juntando as integrais e simplificando as constantes
e
em uma única constante
, temos:
Passo 6
Para finalizar, podemos expressar
de forma implícita ou, se possível, isolá-lo. Nesse caso, a solução fica implícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos problemas seguintes, determine a ordem da equação diferencial e decida se a equação é linear ou não-linear.
.
2a
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
2a
Verifique que cada função dada,
Dada equação autônoma
, Ache os pontos de equilíbrio.
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