Resolva as equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação que relaciona a derivada de
em relação a
com
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais separáveis, que permitem separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todas as expressões com
de um lado e as com
do outro lado. A equação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções primitiva de cada lado. Lembrando que:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Depois de integrar, igualamos as duas expressões:
Podemos simplificar as constantes, já que
é apenas outra constante. Vamos chamar essa nova constante de
:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Para deixar a expressão mais limpa, podemos reescrever a constante
como simplesmente
, já que
é uma constante arbitrária:
Passo 6
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Podemos simplificar ainda mais se quisermos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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