Resolva as equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação que relaciona a derivada de em relação a com e . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais separáveis, que permitem separar as variáveis e em lados diferentes da equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todas as expressões com de um lado e as com do outro lado. A equação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar as funções primitiva de cada lado. Lembrando que:
onde e são constantes de integração.

Passo 4

Depois de integrar, igualamos as duas expressões:
Podemos simplificar as constantes, já que é apenas outra constante. Vamos chamar essa nova constante de :

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Para deixar a expressão mais limpa, podemos reescrever a constante como simplesmente , já que é uma constante arbitrária:

Passo 6

Finalmente, isolamos para obter a solução geral da equação diferencial:
Podemos simplificar ainda mais se quisermos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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