integral x(1-x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral aí: . O conteúdo que estamos usando aqui é o de integração por substituição, uma técnica fundamental em cálculo para resolver integrais mais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador , percebemos que uma boa escolha seria deixar . Isso porque derivar nos ajudará a lidar com o que está no numerador.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = -2x em relação a x , dx = -12 , du :
Podemos rearranjar isso para expressar :
Isso é ótimo porque substitui tanto o quanto o em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral x(1 - x^2)^2 , dx = integral -12 , duu^2 = -12 integral u^-2 , du
Aqui, simplificamos a integral usando a substituição que fizemos.

Passo 5

Agora, vamos integrar - 12 integral u^-2 , du = -12 ( -u^-1 ) + C = 12u + C :
Lembre que é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 12u + C = 12(1 - x^2) + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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