Resolva as equações diferenciais homogêneas

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais homogêneas e utilizar substituições que simplificam a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é homogênea porque os termos podem ser expressos em função de . Isso nos permite usar a substituição para simplificar a equação.

Passo 3

Definimos . Então, . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Distribuímos os termos:
Simplificando:

Passo 6

Dividimos toda a equação por para separar as variáveis:
Rearranjando:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é :

Passo 8

Substituímos por :
Para simplificar, usamos a definição da função inversa do seno hiperbólico:
onde é uma constante.

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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