Resolva as equações diferenciais homogêneas
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, precisamos entender conceitos de equações diferenciais homogêneas e utilizar substituições que simplificam a resolução.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação é homogênea porque os termos podem ser expressos em função de
. Isso nos permite usar a substituição
para simplificar a equação.
Passo 3
Definimos
. Então,
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Distribuímos os termos:
Simplificando:
Passo 6
Dividimos toda a equação por
para separar as variáveis:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
:
Passo 8
Substituímos
por
:
Para simplificar, usamos a definição da função inversa do seno hiperbólico:
onde
é uma constante.
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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