Resolva as equações diferenciais homogêneas

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
Esse tipo de equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição para transformar a equação em algo que a gente consiga separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos na equação original com a expressão que encontramos:
Subtraindo de ambos os lados, temos:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e multiplicando por :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo fica:
E do lado direito:

Passo 6

Unindo as duas integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Podemos rearranjar para:
Onde ainda é uma constante.

Passo 8

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos também escrever isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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