Resolva as equações diferenciais homogêneas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
Esse tipo de equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição para transformar a equação em algo que a gente consiga separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
na equação original com a expressão que encontramos:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo fica:
E do lado direito:
Passo 6
Unindo as duas integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo
de volta na equação:
Podemos rearranjar para:
Onde
ainda é uma constante.
Passo 8
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos também escrever isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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, Determine os pontos instáveis e estáveis.
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