Dada equação de Bernoulli
, Ache a solução geral desta equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação de Bernoulli:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente as equações não lineares que podem ser transformadas em lineares. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para torná-la mais clara:
Essa forma nos ajuda a identificar os termos que vamos manipular. Observamos que além do termo
, temos um termo
, o que caracteriza a equação de Bernoulli.
Passo 3
Em uma equação de Bernoulli padrão:
onde
,
e
. Para resolver, fazemos uma substituição:
Isso nos ajuda a transformar a equação original em uma equação linear.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Substituindo
da equação original:
Como
, temos:
Agora, a equação está na forma linear:
Passo 5
Para resolver a equação linear
, usamos o fator integrante. O fator é:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Multiplicando por
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Dada equação de Riccati
, Ache a solução geral da equação.