Dada equação de Bernoulli , Ache a solução geral desta equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação de Bernoulli:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente as equações não lineares que podem ser transformadas em lineares. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para torná-la mais clara:
Essa forma nos ajuda a identificar os termos que vamos manipular. Observamos que além do termo , temos um termo , o que caracteriza a equação de Bernoulli.

Passo 3

Em uma equação de Bernoulli padrão:
onde , e . Para resolver, fazemos uma substituição:
Isso nos ajuda a transformar a equação original em uma equação linear.

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo da equação original:
Como , temos:
Agora, a equação está na forma linear:

Passo 5

Para resolver a equação linear , usamos o fator integrante. O fator é:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Multiplicando por :
Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Dada equação de Riccati , Ache a solução geral da equação.