Resolva as equações diferenciais lineares
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear
. Essa questão está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
. Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para torná-la mais fácil de resolver.
Passo 3
O fator integrante (
) é calculado usando a fórmula
. Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica bastante a resolução!
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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