Resolva as equações diferenciais lineares

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear . Essa questão está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão: . Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica toda a equação para torná-la mais fácil de resolver.

Passo 3

O fator integrante ( ) é calculado usando a fórmula . Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica bastante a resolução!

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a integral do lado direito é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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