Dada equação de Riccati
, Ache a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial chamada Equação de Riccati:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais não lineares e fazer umas substituições inteligentes para simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar
. Essa substituição ajuda a eliminar o termo
que está misturado com
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Sabemos que
, então derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
pela expressão da equação original:
Simplificando:
Então, temos uma equação diferencial mais simples:
Passo 4
Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
dos lados opostos da equação. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 5
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante arbitrária.