Dada equação de Riccati d y/d x = 1 + (y - x)^{2}, Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial chamada Equação de Riccati: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais não lineares e fazer umas substituições inteligentes para simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar . Essa substituição ajuda a eliminar o termo que está misturado com . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a .
Sabemos que , então derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos pela expressão da equação original:
Simplificando:
Então, temos uma equação diferencial mais simples:

Passo 4

Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e dos lados opostos da equação. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 5

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração. Agora, resolvemos para :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante arbitrária.

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