Dada equação diferencial
, Resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
:
E agora
:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
Geralmente, tentamos fatores integrantes que dependem apenas de
ou apenas de
. Vamos verificar se existe um fator integrante
tal que:
seja exata. Para isso, usamos a condição:
Fazendo as contas, descobrimos que o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
A integral de
em relação a
é
. Para a parte com
, fazemos a substituição
:
Portanto:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Para simplificar, percebemos que
deve depender apenas de
, o que nos leva a:
Assim, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
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