Dada equação diferencial , Resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular :
E agora :
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Geralmente, tentamos fatores integrantes que dependem apenas de ou apenas de . Vamos verificar se existe um fator integrante tal que:
seja exata. Para isso, usamos a condição:
çã
Fazendo as contas, descobrimos que o fator integrante é .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
A integral de em relação a é . Para a parte com , fazemos a substituição :
Portanto:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Para simplificar, percebemos que deve depender apenas de , o que nos leva a:
Assim, a função fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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