Dada equação de Riccati , Encontre uma solução particular, supondo que ela é um polinômio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação conhecida como Equação de Riccati:
Nos pedem para encontrar uma solução particular dessa equação, assumindo que essa solução é um polinômio da forma:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de e que satisfazem a equação quando substituímos por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Se , então:
Isso é simples porque a derivada de é e a derivada de (uma constante) é zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original de Riccati:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do quadrado:
Então, a equação fica:

Passo 5

Expandindo o quadrado:
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de potências iguais de devem ser iguais dos dois lados. Observando os lados esquerdo e direito:
Do lado esquerdo, temos apenas o termo constante .
Do lado direito, temos:
  • Termo de :
  • Termo de :
  • Termo constante:
Então, para igualar os dois lados:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 7

Vamos resolver essas equações uma por uma.
Primeira equação:
Segunda equação:
Sabemos que , então:
Isso é sempre verdadeiro, então não nos dá informação adicional sobre .
Terceira equação:
Como :

Passo 8

Agora que temos os valores de e :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular da equação de Riccati é:

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