Dada equação de Riccati
, Encontre uma solução particular, supondo que ela é um polinômio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação conhecida como Equação de Riccati:
Nos pedem para encontrar uma solução particular dessa equação, assumindo que essa solução é um polinômio da forma:
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação quando substituímos
por
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Se
, então:
Isso é simples porque a derivada de
é
e a derivada de
(uma constante) é zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original de Riccati:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do quadrado:
Então, a equação fica:
Passo 5
Expandindo o quadrado:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos de potências iguais de
devem ser iguais dos dois lados. Observando os lados esquerdo e direito:
Do lado esquerdo, temos apenas o termo constante
.
Do lado direito, temos:
- Termo de
: - Termo de
: - Termo constante:
Então, para igualar os dois lados:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 7
Vamos resolver essas equações uma por uma.
Primeira equação:
Segunda equação:
Sabemos que
, então:
Isso é sempre verdadeiro, então não nos dá informação adicional sobre
.
Terceira equação:
Como
:
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação de Riccati é:
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.