Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga (3,-1,2) a (5,3,4).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta que liga os pontos e , e esse segmento é o diâmetro de uma esfera. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas. Vamos precisar encontrar o centro da esfera e o raio.

Passo 2

O centro da esfera está localizado exatamente no ponto médio do diâmetro. Para encontrar o ponto médio entre dois pontos no espaço, usamos a fórmula do ponto médio:
M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 )
Aqui, os pontos dados são e .

Passo 3

Aplicando a fórmula do ponto médio:
M = ( 3 + 52, -1 + 32, 2 + 42 ) = ( 82, 22, 62 ) = (4, 1, 3)
Então, o centro da esfera é o ponto .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o raio da esfera. Sabemos que o diâmetro é a distância entre os dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e . A distância entre dois pontos no espaço é calculada pela fórmula:
Vamos calcular essa distância.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os pontos d = raiz(5 - 3)^2 + (3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 = raiz2^2 + 4^2 + 2^2 = raiz4 + 16 + 4 = raiz24 = 2raiz6 e r = d2 = 2raiz62 = raiz6 :
Esse é o diâmetro da esfera. O raio é metade do diâmetro:

Passo 6

Com o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2 e o raio , podemos escrever a equação da esfera usando a fórmula geral:
Onde são as coordenadas do centro e é o raio.

Resposta

A equação da esfera é:
(x - 4)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 6

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