Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga a .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta que liga os pontos e , e esse segmento é o diâmetro de uma esfera. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas. Vamos precisar encontrar o centro da esfera e o raio.

Passo 2

O centro da esfera está localizado exatamente no ponto médio do diâmetro. Para encontrar o ponto médio entre dois pontos no espaço, usamos a fórmula do ponto médio:
Aqui, os pontos dados são e .

Passo 3

Aplicando a fórmula do ponto médio:
Então, o centro da esfera é o ponto .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o raio da esfera. Sabemos que o diâmetro é a distância entre os dois pontos e . A distância entre dois pontos no espaço é calculada pela fórmula:
Vamos calcular essa distância.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os pontos e :
Esse é o diâmetro da esfera. O raio é metade do diâmetro:

Passo 6

Com o centro e o raio , podemos escrever a equação da esfera usando a fórmula geral:
Onde são as coordenadas do centro e é o raio.

Resposta

A equação da esfera é:

Exercícios relacionados

Dada a equação cartesiana do plano, como obtemos sua equação vetorial? Analogamente, dada a equação vetorial do plano, como obter sua equação cartesiana?
O que é um vetor normal a um plano?
Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos e . Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto e ao ponto médio dos pontos e .
Determine a equação do círculo de centro que é tangente a reta .
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é .