Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga
a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um segmento de reta que liga os pontos
e
, e esse segmento é o diâmetro de uma esfera. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas. Vamos precisar encontrar o centro da esfera e o raio.
Passo 2
O centro da esfera está localizado exatamente no ponto médio do diâmetro. Para encontrar o ponto médio entre dois pontos no espaço, usamos a fórmula do ponto médio:
Aqui, os pontos dados são
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula do ponto médio:
Então, o centro da esfera é o ponto
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o raio da esfera. Sabemos que o diâmetro é a distância entre os dois pontos
e
. A distância entre dois pontos no espaço é calculada pela fórmula:
Vamos calcular essa distância.
Passo 5
Aplicando a fórmula com os pontos
e
:
Esse é o diâmetro da esfera. O raio
é metade do diâmetro:
Passo 6
Com o centro
e o raio
, podemos escrever a equação da esfera usando a fórmula geral:
Onde
são as coordenadas do centro e
é o raio.
Resposta
A equação da esfera é:
Exercícios relacionados
Dada a equação cartesiana do plano, como obtemos sua equação vetorial? Analogamente, dada a equação vetorial do plano, como obter sua equação cartesiana?
O que é um vetor normal a um plano?
Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos
e
. Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto
e ao ponto médio dos pontos
e
.
Determine a equação do círculo de centro
que é tangente a reta
.
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é .
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é