Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(3,0,-1). Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto A e ao ponto médio dos pontos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas maneiras diferentes de descrever a reta que passa pelos pontos e . Isso cai no conteúdo de geometria analítica, especificamente na parametrização de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta usando um ponto e um vetor diretor, além de calcular o ponto médio entre A e B.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar como parametrizar uma reta no espaço. A forma geral é:
r(t) = r0 + t cdot v
Onde:
  • é um ponto pela qual a reta passa.
  • é o vetor diretor da reta.
  • é o parâmetro que varia.
Para a reta que passa por A e B, podemos escolher como A ou B, e como o vetor que vai de A até B.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor v = B - A = (3 - 1, 0 - 2, -1 - 3) = (2, -2, -4) primeiro. Esse vetor é dado pela diferença entre as coordenadas de B e A:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos fazer a primeira parametrização usando o ponto A como referência:
r1(t) = A + t cdot v = (1, 2, 3) + t cdot (2, -2, -4)
Isso dá:
r1(t) = (1 + 2t, , 2 - 2t, , 3 - 4t)

Passo 5

Para a segunda parametrização, vamos escolher um vetor diretor diferente. Podemos, por exemplo, usar r2(s) = A + s cdot v2 = (1, 2, 3) + s cdot (-2, 2, 4) , que é o inverso de r2(s) = (1 - 2s, , 2 + 2s, , 3 + 4s) . E vamos usar o mesmo ponto A como referência:
Assim, temos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o parâmetro que corresponde ao ponto A em cada parametrização. Olhando para (1 + 2t, , 2 - 2t, , 3 - 4t) = (1, 2, 3) :
Para (1 - 2s, , 2 + 2s, , 3 + 4s) = (1, 2, 3) , queremos:
Isso acontece quando .
Para :
Isso também acontece quando .

Passo 7

Agora, vamos achar o ponto médio M entre A e B. A fórmula do ponto médio em 3D é:
M = ( xA + xB2, yA + yB2, zA + zB2 )
Calculando:
M = ( 1 + 32, 2 + 02, 3 + (-1)2 ) = (2, 1, 1)

Passo 8

Vamos encontrar agora o parâmetro que faz (1 + 2t, , 2 - 2t, , 3 - 4t) = (2, 1, 1) :
(1 - 2s, , 2 + 2s, , 3 + 4s) = (2, 1, 1)
Resolvendo para cada componente:
Então, para , o parâmetro correspondente a M é .
Para :
Resolvendo:
Então, para , o parâmetro correspondente a M é .

Resposta

As duas parametrizações distintas para a reta que passa por A e B são:
    • Parâmetro para o ponto A:
    • Parâmetro para o ponto médio M:
    • Parâmetro para o ponto A:
    • Parâmetro para o ponto médio M:

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