Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos
e
. Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto
e ao ponto médio dos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas maneiras diferentes de descrever a reta que passa pelos pontos
e
. Isso cai no conteúdo de geometria analítica, especificamente na parametrização de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta usando um ponto e um vetor diretor, além de calcular o ponto médio entre A e B.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar como parametrizar uma reta no espaço. A forma geral é:
Onde:
-
é um ponto pela qual a reta passa. -
é o vetor diretor da reta. -
é o parâmetro que varia.
Para a reta que passa por A e B, podemos escolher
como A ou B, e
como o vetor que vai de A até B.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor diretor
primeiro. Esse vetor é dado pela diferença entre as coordenadas de B e A:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos fazer a primeira parametrização usando o ponto A como referência:
Isso dá:
Passo 5
Para a segunda parametrização, vamos escolher um vetor diretor diferente. Podemos, por exemplo, usar
, que é o inverso de
. E vamos usar o mesmo ponto A como referência:
Assim, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o parâmetro que corresponde ao ponto A em cada parametrização. Olhando para
:
Para
, queremos:
Isso acontece quando
.
Para
:
Isso também acontece quando
.
Passo 7
Agora, vamos achar o ponto médio M entre A e B. A fórmula do ponto médio em 3D é:
Calculando:
Passo 8
Vamos encontrar agora o parâmetro que faz
:
Resolvendo para cada componente:
-
→ -
→ -
→
Então, para
, o parâmetro correspondente a M é
.
Para
:
Resolvendo:
-
→ -
→ -
→
Então, para
, o parâmetro correspondente a M é
.
Resposta
As duas parametrizações distintas para a reta que passa por A e B são:
-
- Parâmetro para o ponto A:
- Parâmetro para o ponto médio M:
- Parâmetro para o ponto A:
-
- Parâmetro para o ponto A:
- Parâmetro para o ponto médio M:
- Parâmetro para o ponto A:
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.
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.
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e
.