Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache a solução geral desta equação.
(b) Ache a solução geral desta equação.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Cauchy-Euler, que é assim:
Nossa missão é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de Cauchy-Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais onde os coeficientes das derivadas são potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
para deixar a equação na forma padrão:
Passo 3
Agora, lembrando que em uma equação de Cauchy-Euler de ordem 3, procuramos soluções da forma
. Vamos assumir que a solução homogênea (parte sem o lado direito) seja
. Então, calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatorando
e reorganizando:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 6
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo a equação cúbica
. Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o teste das raízes possíveis. Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, fatoramos
:
Resolvendo
:
Portanto, as raízes são
, com multiplicidade, e
.
Passo 8
A solução geral da parte homogênea é então:
(Observação: Como
é uma raiz múltipla, adicionamos o termo com
).
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é uma constante (
), tentamos uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .
(b) Ache a solução do problema de valor inicial:
Determine uma forma adequada para
para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)
(d)
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
c)
c)
Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.