Dada equação de Cauchy-Euler: .
(b) Ache a solução geral desta equação.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Cauchy-Euler, que é assim:
Nossa missão é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações de Cauchy-Euler, que são um tipo especial de equações diferenciais onde os coeficientes das derivadas são potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por para deixar a equação na forma padrão:

Passo 3

Agora, lembrando que em uma equação de Cauchy-Euler de ordem 3, procuramos soluções da forma . Vamos assumir que a solução homogênea (parte sem o lado direito) seja . Então, calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação homogênea:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Fatorando e reorganizando:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 6

Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo a equação cúbica . Podemos tentar encontrar raízes racionais usando o teste das raízes possíveis. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, fatoramos :
Resolvendo :
Portanto, as raízes são , com multiplicidade, e .

Passo 8

A solução geral da parte homogênea é então:
(Observação: Como é uma raiz múltipla, adicionamos o termo com ).

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é uma constante ( ), tentamos uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação original:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:

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Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .
Determine uma forma adequada para para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
c)
Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.