Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos 1,4 e -3,2.
c) f(x, y) = 3x^2 - 3xy^3 + 2y + 2x + 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos e . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas em relação a e e depois avaliar essas derivadas nos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem: e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. Então:
    Calculando cada termo:
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Agora, derivamos em relação a , tratando como uma constante:
    Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e .
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Derivando em relação a :
  • Segunda derivada parcial mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las nos pontos e .
No ponto :
  • (constante)
No ponto :
  • (constante)

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos são:
  • No ponto :
  • No ponto :

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