Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas em relação a
e
e depois avaliar essas derivadas nos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem:
e
.
-
Derivada parcial em relação a
( ): Quando derivamos em relação a, tratamos como uma constante. Então: Calculando cada termo: -
Derivada parcial em relação a
( ): Agora, derivamos em relação a, tratando como uma constante: Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
.
-
Segunda derivada parcial em relação a
( ): Derivandoem relação a : -
Segunda derivada parcial mista (
): Derivandoem relação a : -
Segunda derivada parcial em relação a
( ): Derivandoem relação a :
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las nos pontos
e
.
No ponto
:
-
-
-
(constante) -
-
No ponto
:
-
-
-
(constante) -
-
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos são:
-
No ponto
: -
-
No ponto
: -
Exercícios relacionados
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache a solução geral desta equação.
(b) Ache a solução geral desta equação.
Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .
(b) Ache a solução do problema de valor inicial:
Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Dada equação não linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.