Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos e . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais. Vamos precisar calcular as derivadas em relação a e e depois avaliar essas derivadas nos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem: e .
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. Então:
    Calculando cada termo:
  • Derivada parcial em relação a ( ):
    Agora, derivamos em relação a , tratando como uma constante:
    Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e .
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Derivando em relação a :
  • Segunda derivada parcial mista ( ):
    Derivando em relação a :
  • Segunda derivada parcial em relação a ( ):
    Derivando em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliá-las nos pontos e .
No ponto :
  • (constante)
No ponto :
  • (constante)

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos são:
  • No ponto :
  • No ponto :

Exercícios relacionados

Dada equação de Cauchy-Euler: .
(b) Ache a solução geral desta equação.
Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .
Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Dada equação não linear .
(b) Ache a solução geral da equação.