Determine uma forma adequada para
para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar uma forma adequada para
usando o método dos coeficientes a determinar na equação diferencial:
Então, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar, que é super útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma combinação de funções que já conhecemos como soluções das equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está no lado direito da equação. Temos duas partes:
Essas são as funções que vão determinar a forma da nossa solução particular
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método dos coeficientes a determinar. Esse método assume uma forma específica para
baseada nas funções que aparecem no lado direito da equação. A ideia é escolher uma forma que, quando substituída na equação diferencial, permita resolver para os coeficientes desconhecidos.
Passo 4
Vamos analisar cada parte do lado direito:
-
Para
: - A função base aqui é
. - Como temos um polinômio de grau 2 multiplicando
, nossa solução particular precisa refletir isso. - Então, a parte correspondente de
será um polinômio de grau 2 multiplicado por e (pois ambas as funções aparecem quando diferenciamos senos e cossenos).
- A função base aqui é
-
Para
: - A função base aqui é
. - Temos um polinômio de grau 1 multiplicando
. - Similarmente, nossa solução particular precisa incluir um polinômio de grau 1 multiplicado por
e .
- A função base aqui é
Passo 5
Juntando as duas partes, nossa forma para
será:
Aqui,
e
são os coeficientes que vamos determinar substituindo
na equação diferencial original.
Resposta
A forma adequada para
é:
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Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .
(b) Ache a solução do problema de valor inicial:
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache a solução geral desta equação.
(b) Ache a solução geral desta equação.