Determine uma forma adequada para para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa encontrar uma forma adequada para usando o método dos coeficientes a determinar na equação diferencial:
Então, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar, que é super útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma combinação de funções que já conhecemos como soluções das equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está no lado direito da equação. Temos duas partes:
Essas são as funções que vão determinar a forma da nossa solução particular .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método dos coeficientes a determinar. Esse método assume uma forma específica para baseada nas funções que aparecem no lado direito da equação. A ideia é escolher uma forma que, quando substituída na equação diferencial, permita resolver para os coeficientes desconhecidos.

Passo 4

Vamos analisar cada parte do lado direito:
  1. Para :
    • A função base aqui é .
    • Como temos um polinômio de grau 2 multiplicando , nossa solução particular precisa refletir isso.
    • Então, a parte correspondente de será um polinômio de grau 2 multiplicado por e (pois ambas as funções aparecem quando diferenciamos senos e cossenos).
  2. Para :
    • A função base aqui é .
    • Temos um polinômio de grau 1 multiplicando .
    • Similarmente, nossa solução particular precisa incluir um polinômio de grau 1 multiplicado por e .

Passo 5

Juntando as duas partes, nossa forma para será:
Aqui, e são os coeficientes que vamos determinar substituindo na equação diferencial original.

Resposta

A forma adequada para é:

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Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.
Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.
Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .
Dada equação de Cauchy-Euler: .
(b) Ache a solução geral desta equação.