Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma equação diferencial não linear dada por . O conteúdo envolve equações diferenciais, especificamente a redução de ordem de uma equação não linear. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, para reduzir a ordem da equação, vamos fazer uma substituição que torne a equação mais fácil de lidar. Vamos definir , que é a derivada de em relação a . Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos por na equação original:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Mas ainda temos na equação, e queremos uma equação apenas em termos de e . Para isso, vamos considerar que , então podemos escrever em termos de .

Passo 5

Rearranjando , temos:
Isso nos permite expressar como uma integral de em relação a :

Passo 6

No entanto, para simplificar ainda mais, podemos mudar de variável e tratar como função de em vez de . Usando a regra da cadeia, .

Passo 7

Substituindo na equação original, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Agora, temos uma equação separável que relaciona e . Vamos reescrever para separar as variáveis:
Mas ainda temos na equação, o que sugere que precisamos de uma relação adicional entre e .

Passo 9

Considerando que , podemos reescrever a equação anterior como:
Multiplicando ambos os lados por :
E sabendo que , substituímos:
Isso nos leva a uma equação separável em termos de e .

Resposta

Ao fazer a substituição , reduzimos a ordem da equação diferencial para uma equação separável:
Essa forma mais simples permite resolver a equação original com passos adicionais.

Exercícios relacionados

Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
c)
Dada equação de Cauchy-Euler: .
(b) Ache a solução geral desta equação.
Dada equação não linear .
(b) Ache a solução geral da equação.
Meia-vida do isótopo de é 12 segundos.
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de ?