Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma equação diferencial não linear dada por
. O conteúdo envolve equações diferenciais, especificamente a redução de ordem de uma equação não linear. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, para reduzir a ordem da equação, vamos fazer uma substituição que torne a equação mais fácil de lidar. Vamos definir
, que é a derivada de
em relação a
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, substituímos
por
na equação original:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 4
Mas ainda temos
na equação, e queremos uma equação apenas em termos de
e
. Para isso, vamos considerar que
, então podemos escrever
em termos de
.
Passo 5
Rearranjando
, temos:
Isso nos permite expressar
como uma integral de
em relação a
:
Passo 6
No entanto, para simplificar ainda mais, podemos mudar de variável e tratar
como função de
em vez de
. Usando a regra da cadeia,
.
Passo 7
Substituindo
na equação original, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 8
Agora, temos uma equação separável que relaciona
e
. Vamos reescrever para separar as variáveis:
Mas ainda temos
na equação, o que sugere que precisamos de uma relação adicional entre
e
.
Passo 9
Considerando que
, podemos reescrever a equação anterior como:
Multiplicando ambos os lados por
:
E sabendo que
, substituímos:
Isso nos leva a uma equação separável em termos de
e
.
Resposta
Ao fazer a substituição
, reduzimos a ordem da equação diferencial para uma equação separável:
Essa forma mais simples permite resolver a equação original com passos adicionais.
Exercícios relacionados
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
c)
c)
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache a solução geral desta equação.
(b) Ache a solução geral desta equação.
Dada equação não linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.
Meia-vida do isótopo de
é 12 segundos.
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de ?
(b) Qual é tempo médio da vida do isótopo de