Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é linear: . A gente vai precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e aplicar as condições iniciais e para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução geral para essa equação. Observando os coeficientes, percebemos que a equação tem coeficientes irregulares, então vamos tentar uma solução por série ou procurar soluções especiais. Para simplificar, vamos assumir que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 5

Organizando os termos por potências de :
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo a segunda equação:

Passo 6

Assim, temos duas soluções básicas:
Para :
Para :
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição:
çã
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Aplicando a condição:
Portanto, .
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Determine uma forma adequada para para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)
Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.
Dada equação de Cauchy-Euler: .
(b) Ache a solução geral desta equação.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
c)