Dada equação linear
(b) Ache a solução do problema de valor inicial:
.
(b) Ache a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é linear:
. A gente vai precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e aplicar as condições iniciais
e
para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
para deixar a equação mais fácil de trabalhar:
Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução geral para essa equação. Observando os coeficientes, percebemos que a equação tem coeficientes irregulares, então vamos tentar uma solução por série ou procurar soluções especiais. Para simplificar, vamos assumir que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 5
Organizando os termos por potências de
:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Resolvendo a segunda equação:
Passo 6
Assim, temos duas soluções básicas:
Para :
Para
Para
:
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Aplicando a condição:
Portanto,
.
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determine uma forma adequada para
para se usar no método dos coeficientes a determinar.
(d)
(d)
Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(b) Ache a solução geral desta equação.
(b) Ache a solução geral desta equação.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
c)
c)