Dada equação não linear .
(b) Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial não linear:
Esse exercício está relacionado a equações diferenciais, mais especificamente a equações diferenciais de segunda ordem e não lineares. Para resolver, vamos precisar usar substituições para reduzir a equação a uma forma mais simples que a gente consiga resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar de . Assim, vira . Então, nossa equação fica:
Isso transforma a equação original de segunda ordem em uma de primeira ordem, o que é mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Dividimos ambos os lados por :
A ideia aqui é integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos lembrar que . Então, podemos reescrever como . A equação fica:
Agora, vamos perceber que isso pode ser rearranjado para integrar em termos de .

Passo 5

Usando a regra da cadeia, . Substituindo na equação, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos lembrar que , o que significa que . Então, podemos escrever nossa equação como:
Isso relaciona como muda em relação a .

Passo 7

Vamos agora integrar ambos os lados em relação a . A equação é:
Mas , então substituímos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, a equação se tornou:
Isso é uma equação separável. Vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Vamos chamar de outra constante, digamos :

Passo 10

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é uma equação diferencial separável que podemos integrar para achar .

Passo 11

Vamos reescrever a equação:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é simplesmente , onde é outra constante de integração.

Passo 12

A integral do lado esquerdo pode ser resolvida completando o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando funções arcosinh ou similares, dependendo do valor de .

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é obtida após resolver a integral acima, obtendo em função de :
Onde e são constantes de integração que podem ser ajustadas conforme condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Dada equação não linear .
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Dada equação de Cauchy-Euler: .
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
d)
Volume do tetraedro Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro cortado a partir do primeiro octante pelo plano . Calcule uma das integrais.