Dada equação não linear
.
(b) Ache a solução geral da equação.
(b) Ache a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial não linear:
Esse exercício está relacionado a equações diferenciais, mais especificamente a equações diferenciais de segunda ordem e não lineares. Para resolver, vamos precisar usar substituições para reduzir a equação a uma forma mais simples que a gente consiga resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar
de
. Assim,
vira
. Então, nossa equação fica:
Isso transforma a equação original de segunda ordem em uma de primeira ordem, o que é mais fácil de lidar.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Dividimos ambos os lados por
:
A ideia aqui é integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos lembrar que
. Então, podemos reescrever
como
. A equação fica:
Agora, vamos perceber que isso pode ser rearranjado para integrar em termos de
.
Passo 5
Usando a regra da cadeia,
. Substituindo na equação, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que
, o que significa que
. Então, podemos escrever nossa equação como:
Isso relaciona como
muda em relação a
.
Passo 7
Vamos agora integrar ambos os lados em relação a
. A equação é:
Mas
, então substituímos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, a equação se tornou:
Isso é uma equação separável. Vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Vamos chamar
de outra constante, digamos
:
Passo 10
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é uma equação diferencial separável que podemos integrar para achar
.
Passo 11
Vamos reescrever a equação:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é simplesmente
, onde
é outra constante de integração.
Passo 12
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida completando o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando funções arcosinh ou similares, dependendo do valor de
.
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é obtida após resolver a integral acima, obtendo
em função de
:
Onde
e
são constantes de integração que podem ser ajustadas conforme condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
Dada equação não linear
.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
(a) Fazendo a substitução apropriada, diminua ordem da equação.
Dada equação de Cauchy-Euler:
.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
(a) Encontre o conjunto fundamendal para sua parte homogênea.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
d)
d)
Volume do tetraedro Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do tetraedro cortado a partir do primeiro octante pelo plano
. Calcule uma das integrais.