Dada uma equação de Cauchy-Euler: 2 x^2 y^prime prime(x)+5 x y^prime(x)+y(x)=0. Ache a solução do problema de valor inicial: y(1)=1, y^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é uma Equação de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial. Aqui, temos a equação:
2x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 0
E as condições iniciais:
y(1) = 1, y'(1) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos específicos para equações de Cauchy-Euler, que envolvem encontrar soluções assumindo que . Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma y' = r x^r-1 . Isso significa que:
y'' = r (r - 1) x^r-2
Vamos substituir , e na equação original.

Passo 3

Substituindo na equação:
2x^2 cdot r (r - 1) x^r-2 + 5x cdot r x^r-1 + x^r = 0
Simplificando cada termo:
2r(r - 1) x^r + 5r x^r + x^r = 0

Passo 4

Agora, fatoramos x^r [2r(r - 1) + 5r + 1] = 0 :
2r(r - 1) + 5r + 1 = 0
Como não é zero, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para 2r^2 - 2r + 5r + 1 = 0 :
2r^2 + 3r + 1 = 0
r = -3 pm raiz9 - 84 = -3 pm 14
Usando a fórmula de Bhaskara:
r1 = -3 + 14 = -12
Então, as raízes são:
r2 = -3 - 14 = -1

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Primeiro, aplicamos 1 = C1 (1)^-1/2 + C2 (1)^-1 = C1 + C2 :
C1 + C2 = 1 (Equação 1)
çã

Passo 8

Agora, encontramos y'(x) = -12 C1 x^-3/2 - C2 x^-2 :
1 = -12 C1 (1)^-3/2 - C2 (1)^-2 = -12 C1 - C2
Aplicamos -12 C1 - C2 = 1 (Equação 2) :
çã

Passo 9

Vamos resolver o sistema de Equações 1 e 2:
  1. 2C1 + 2C2 = 2
  2. 2C1 + 2C2 - 12 C1 - C2 = 2 + 1
Multiplicando a Equação 1 por 2:
32 C1 + C2 = 3
Somando com a Equação 2:
32 C1 + C2 - (C1 + C2) = 3 - 1
12 C1 = 2
Subtraindo a Equação 1:
C1 = 4
4 + C2 = 1
C2 = -3
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 4,x^-1/2 - 3,x^-1

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