Dada uma equação de Cauchy-Euler:
. Ache a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é uma Equação de Cauchy-Euler, que é um tipo especial de equação diferencial. Aqui, temos a equação:
E as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos específicos para equações de Cauchy-Euler, que envolvem encontrar soluções assumindo que
. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Isso significa que:
Vamos substituir
,
e
na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, fatoramos
:
Como
não é zero, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Primeiro, aplicamos
:
Passo 8
Agora, encontramos
:
Aplicamos
:
Passo 9
Vamos resolver o sistema de Equações 1 e 2:
Multiplicando a Equação 1 por 2:
Somando com a Equação 2:
Subtraindo a Equação 1:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: