O oscilador harmônico
tem um integral de movimento
, onde
é uma constante proporcional à energia. Calcule a amplitude de oscilações para a solução do problema de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um oscilador harmônico descrito pela equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de mecânica clássica, mais especificamente no estudo de movimentos oscilatórios. Para resolver, vamos precisar entender as soluções de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e como aplicar as condições iniciais para encontrar a amplitude das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Essa é uma equação homogênea com coeficientes constantes. A solução geral para uma equação do tipo
é:
No nosso caso,
, então
. Então, a solução fica:
Passo 3
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. As condições dadas são:
Primeiro, vamos calcular
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada
para usar a segunda condição inicial:
Aplicando
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora que temos
e
, a solução específica do movimento é:
Passo 6
A amplitude
das oscilações é a máxima distância que o oscilador alcança a partir da posição de equilíbrio. Para encontrar a amplitude, podemos reescrever
na forma de uma única função cosseno com fase:
Onde:
Resposta
A amplitude das oscilações é
unidades.