O oscilador harmônico x^prime prime(t)+4 x(t)=0 tem um integral de movimento x^prime(t)^2+4 x(t)^2=C^2, onde C^2 é uma constante proporcional à energia. Calcule a amplitude de oscilações para a solução do problema de valor inicial: x(0)=1, x^prime(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um oscilador harmônico descrito pela equação diferencial . Isso faz parte da matéria de mecânica clássica, mais especificamente no estudo de movimentos oscilatórios. Para resolver, vamos precisar entender as soluções de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e como aplicar as condições iniciais para encontrar a amplitude das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) . Essa é uma equação homogênea com coeficientes constantes. A solução geral para uma equação do tipo x(t) = A cos(2t) + B sin(2t) é:
No nosso caso, , então . Então, a solução fica:

Passo 3

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de x(0) = 1 x'(0) = 2 e x(0) = A cos(0) + B sin(0) = A cdot 1 + B cdot 0 = A . As condições dadas são:
A = 1
Primeiro, vamos calcular :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada x'(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t) para usar a segunda condição inicial:
x'(0) = -2A sin(0) + 2B cos(0) = -2A cdot 0 + 2B cdot 1 = 2B
Aplicando 2B = 2 implies B = 1 :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora que temos x(t) = cos(2t) + sin(2t) e , a solução específica do movimento é:

Passo 6

A amplitude x(t) = raizA^2 + B^2 cos(2t - phi) das oscilações é a máxima distância que o oscilador alcança a partir da posição de equilíbrio. Para encontrar a amplitude, podemos reescrever raizA^2 + B^2 = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 na forma de uma única função cosseno com fase:
Onde:

Resposta

A amplitude das oscilações é unidades.

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