Dada uma equação de Cauchy-Euler:
. Ache a solução geral desta equação utilizando o método de variação dos parâmetros.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Cauchy-Euler dada por:
Essa equação pertence à matéria de equações diferenciais, especificamente as equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral utilizando o método de variação dos parâmetros. Isso envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver uma equação de Cauchy-Euler homogênea, assumimos uma solução da forma
. Assim, as derivadas são:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, resolvemos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Usaremos o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea
e
.
Passo 6
As fórmulas para os parâmetros
e
são:
onde
(ajustando a equação para o formato padrão) e
é o Wronskiano:
Calculando o Wronskiano:
Passo 7
Agora, calculamos
e
:
Passo 8
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Passo 9
A solução particular é dada por:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação original é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: