Dada uma equação de Cauchy-Euler: 2 x^2 y^prime prime(x)+5 x y^prime(x)+y(x)=1 / x. Ache a solução geral desta equação utilizando o método de variação dos parâmetros.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Cauchy-Euler dada por:
2 x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 1x
Essa equação pertence à matéria de equações diferenciais, especificamente as equações de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral utilizando o método de variação dos parâmetros. Isso envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
2 x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 0
Para resolver uma equação de Cauchy-Euler homogênea, assumimos uma solução da forma y' = m x^m-1 . Assim, as derivadas são:
y'' = m(m-1) x^m-2
2x^2 [m(m-1) x^m-2] + 5x [m x^m-1] + x^m = 0
Substituindo na equação:
2m(m-1) x^m + 5m x^m + x^m = 0
Simplificando:
x^m [2m(m-1) + 5m + 1] = 0
Fatorando 2m^2 - 2m + 5m + 1 = 0 :
2m^2 + 3m + 1 = 0
Como , resolvemos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para 2m^2 + 3m + 1 = 0 :
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = 2, b = 3, c = 1
m = -3 pm raiz9 - 84
m = -3 pm 14
m1 = -3 + 14 = -12
Então, temos duas raízes:
m2 = -3 - 14 = -1

Passo 4

Com as raízes yh(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular 2 x^2 y''(x) + 5x y'(x) + y(x) = 1x para a equação completa:
Usaremos o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea e .

Passo 6

As fórmulas para os parâmetros u1' = -y2 cdot g(x)W e u2' = y1 cdot g(x)W são:
W = y1y2' - y2y1'
y1 = x^-1/2, y1' = -12 x^-3/2
onde y2 = x^-1, y2' = -x^-2 (ajustando a equação para o formato padrão) e W = x^-1/2 (-x^-2) - x^-1 ( -12 x^-3/2 ) é o Wronskiano:
W = -x^-5/2 + 12 x^-5/2
Calculando o Wronskiano:
W = -12 x^-5/2

Passo 7

Agora, calculamos u1' = -y2 cdot g(x)W = -x^-1 cdot 12x^3 -12 x^-5/2 = -12 x^-4 -12 x^-5/2 = x^-3/2 e u2' = y1 cdot g(x)W = x^-1/2 cdot 12x^3 -12 x^-5/2 = 12 x^-7/2 -12 x^-5/2 = -x^-1 :

Passo 8

Agora, integramos u1 = integral x^-3/2 dx = x^-1/2 -12 = -2 x^-1/2 e u2 = integral -x^-1 dx = -ln|x| para encontrar e :

Passo 9

A solução particular é dada por:
yp(x) = u1 y1 + u2 y2
yp(x) = (-2 x^-1/2) cdot x^-1/2 + (-ln x) cdot x^-1
yp(x) = -2 x^-1 - x^-1 ln x
yp(x) = -x^-1 (2 + ln x)

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação original é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 - x^-1 (2 + ln x)

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 - 2 + ln xx

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