Dada a equação de uma circunferência x^2 + y^2 + 18 x - 8 y = 24. Determine o centro e o raio desta circunferência.

Passo 1

Beleza, temos a equação de uma circunferência: . Nosso objetivo aqui é descobrir o centro e o raio dessa circunferência. Para isso, vamos usar a parte da matemática que estuda os círculos no plano cartesiano, conhecida como geometria analítica. Vamos precisar completar o quadrado nos termos de e para reescrever a equação na forma padrão da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos para separar os de e os de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para completar o quadrado em , pegamos o coeficiente de , que é 18, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Fazemos o mesmo para :

Passo 4

Adicionamos esses valores ao lado esquerdo da equação, mas também precisamos equilibrar a equação adicionando os mesmos valores do outro lado:

Passo 5

Simplificando ambos os lados da equação:
Aqui, reescrevemos os quadrados completos como e .

Passo 6

Agora, identificamos a forma padrão da circunferência:
Comparando com a nossa equação, vemos que:

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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