Dada equação de Clairaut
. Encontre a solução geral desta equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Clairaut, que é um tipo de equação diferencial. O enunciado é
. Para resolver isso, precisamos usar técnicas específicas de equações diferenciais, especialmente as que tratam de equações lineares do primeiro grau.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar
de
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Simplificando a derivada:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Para que a equação seja satisfeita, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Aqui, podemos resolver para
:
Como
é sempre positivo, isso só faz sentido se
. Então,
Substituindo
na equação original
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Caso 2:
Se a derivada de
é zero, então
é constante, digamos
. Substituindo na equação original:
Essa é a solução geral da equação de Clairaut, que representa uma família de retas.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante, e a solução particular é
.
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.