Dada equação de Clairaut . Encontre a solução geral desta equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Clairaut, que é um tipo de equação diferencial. O enunciado é . Para resolver isso, precisamos usar técnicas específicas de equações diferenciais, especialmente as que tratam de equações lineares do primeiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar de . Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, queremos expressar em termos de e . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Simplificando a derivada:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Para que a equação seja satisfeita, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1:
Aqui, podemos resolver para :
Como é sempre positivo, isso só faz sentido se . Então,
Substituindo na equação original :
Então, a solução particular é:

Passo 7

Caso 2:
Se a derivada de é zero, então é constante, digamos . Substituindo na equação original:
Essa é a solução geral da equação de Clairaut, que representa uma família de retas.

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante, e a solução particular é .

Exercícios relacionados

Dada equação de Riccati , Ache a solução geral da equação.
Resolva as equações diferenciais lineares
Dada equação diferencial , Verifique que é o fator da integração.
Dada equação de Riccati , Encontre uma solução particular, supondo que ela é um polinômio .