Dada equação diferencial
, Verifique que
é o fator da integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
O objetivo aqui é verificar se
é um fator de integração para essa equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, vamos procurar um fator de integração
que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata. O enunciado sugere que
. Vamos verificar isso.
Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Simplificando:
Agora, chamemos os novos termos de
e
:
Vamos calcular as derivadas parciais novamente:
Agora vemos que:
Isso confirma que a equação multiplicada por
é exata.
Resposta
Sim,
é um fator de integração para a equação diferencial dada.
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.
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, Resolva a equação.