Dada equação diferencial (y cos(x+y) + y^2 e^x) dx + (1 + y cos(x+y) + y e^x) dy = 0, Verifique que mu(x, y) = 1/y é o fator da integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
O objetivo aqui é verificar se é um fator de integração para essa equação. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente, , então a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, vamos procurar um fator de integração que, quando multiplicado na equação original, torne-a exata. O enunciado sugere que . Vamos verificar isso.
Multiplicando ambos os lados da equação por :
Simplificando:
Agora, chamemos os novos termos de e :
Vamos calcular as derivadas parciais novamente:
Agora vemos que:
Isso confirma que a equação multiplicada por é exata.

Resposta

Sim, é um fator de integração para a equação diferencial dada.

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